Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ringisomorphismus konstruieren

Ringisomorphismus konstruieren

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Quotientenring, Ring, Ring-Isomorphismus

Goldstein aktiv_icon

15:24 Uhr, 26.12.2019

Tach...

ich versuche vergebens, einen Ringisomorphismus

ℝ [X] / 〈 X^{4} - 1 〉 \to ℝ \times ℝ \times ℂ

zu konstruieren... Ich muss irgendwas mit den Nullstellen

1, i, - 1, - i

machen. Aber ich komme mit diesem Aufgabentyp einfach nicht klar.

Danke für jeden Tipp

MfG Goldstein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:38 Uhr, 26.12.2019

Hallo und fröhliche Weihnachten,

hm, geht es nicht um den Einsetzungshomomorphismus

p (x) \mapsto (p (1), p (- 1), p (i))

?

Es würde reichen zu zeigen, dass dieser eine Surjektion

ℝ [x] \to ℝ \times ℝ \times ℂ

induziert und den Kern

〈 X^{4} - 1 〉

hat...

Mfg Michael

Goldstein aktiv_icon

18:44 Uhr, 27.12.2019

Hi Michael, ebenfalls (nachträglich) noch Frohe Weihnachten.

Wir hatten tatsächlich den Einsetzungshomomorphismus: "Sei

R

ein kommutativer Ring mit 1 und

b \in R

. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus

E_{b} : R [X] \to R

mit

E_{b} (X) = b

, und zwar

P (X) = \sum_{i \geq 0} a_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i \geq 0} a_{i} b^{i}

."

Okay... So ganz verstehe ich das nicht. In unserem Fall ist aber dann

b = 0

, oder?

Wie genau kamst du auf

p (x) \mapsto (p (1), p (- 1), p (i))

und das mit der Surjektion?

MfG Goldstein

michaL aktiv_icon

21:22 Uhr, 27.12.2019

Hallo,

> In unserem Fall ist aber dann b=0, oder?

Nee. In unserem Falle muss man

b

irgendwie mehrdimensional verstehen.

Nehmen wir mal den Körper

K = ℝ

und betrachten die Isomorphie

K [x] / 〈 x^{2} + 1 〉 ≃ ℂ

.

Um das einzusehen, definiere ich mir (analog zu deiner Aufgabe) die Abbildung

φ_{i} : {\begin{array}{rcl} K [x] & \to & ℂ \\ p (x) & \mapsto & p (i) \end{array}

Sicher ist die Abbildung surjektiv: Sei

z := a + b i \in ℂ

, dann gilt für

p (x) = b x + a

p (i) = z

.
Desweiteren gilt

\ker (φ_{i}) = 〈 x^{2} + 1 〉

. Damit folgt aus dem Homomorphiesatz (für Ringe), dass die oben angegebene Isomorphie

K [x] / 〈 x^{2} + 1 〉 ≃ ℂ

gilt. (Kennt ihr den Isomorphiesatz?)

So etwas ähnliches möchte ich gern auch mit deiner Aufgabe machen.
Nur, wo sind die Gemeinsamkeiten? Wo sind Unterschiede?

Gemeinsam: Auch du hast

K [x] / 〈 p (x) 〉

.
Unterschied (und der ist Bedeutsam): Dein Polynom

p

ist (im Gegensatz zu dem in meinem Beispiel) nicht irreduzibel:

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)

> Wie genau kamst du auf p(x)↦(p(1),p(−1),p(i)) und das mit der Surjektion?

Hm, Erfahrung mit Beispielen der Art, wie ich sie oben angegeben habe. Ich habe mich halt gefragt, wie ich damit umgehen soll, dass dein Polynom reduzibel ist.
Mein erster Gedanke war, so etwas mit Einsetzungshomomorphismus zu machen. Aber welche Nullstelle sollte ich Einsetzen?
Kann man sich das Aussuchen???
Offenbar nicht, weil ich sonst zu unterschiedlichen Ergebnissen komme (

p (x) \mapsto p (i)

vs.

p (x) \mapsto p (1)

).
Außerdem (und das rettet den Tag) ist die rechte Seite der Isomorphie ja auch anders dargestellt:

ℝ \times ℝ \times ℂ

Das schreit geradezu danach, jeweils eine Nullstelle für jeden irreduziblen Faktor von

x^{4} - 1

einzusetzen: 1, -1 i oder -i (letzteres kann man sich aussuchen)
Damit gerät die Welt für mich wieder ins Lot.

p (x) \mapsto p (1)

und

p (x) \mapsto p (- 1)

"bleiben" im reellen,

p (x) \mapsto p (i)

"liefert" den komplexen Teil (siehe oben).

Also muss man nur die drei Teile "zusammenbasteln".

Versuche zunächst die Frage zu klären, ob ihr den Homomorphiesatz (für Ringe) nutzen dürft. (Ich gehe hier mal davon aus. Wenn nicht, lohnt es sich, den zu beweisen. Das ist einfacher, als man so denkt.)
Dann beweise, dass die angegebene Abbildung

φ : {\begin{array}{rcc} ℝ [x] & \to & ℝ \times ℝ \times ℂ \\ p (x) & \mapsto & (p (1), p (- 1), p (i)) \end{array}

surjektiv ist. (Bedenke, dass die Abbildung insbesondere ein Vektorraumhomomorphismus ist und du nur zeigen musst, dass die Elemente einer Basis im Bild liegen!)
Anschließend bestimmst du den Kern der Abbildung

φ

(und kommst hoffentlich auf das angegebene Ideal).
Damit hättest du die Isomorphie fertig.

Mfg Michael

Goldstein aktiv_icon

10:56 Uhr, 28.12.2019

Wow viiielen Dank für deine ausführliche Antwort, Michael!

Wir hatten den Isomorphiesatz (für Gruppen) und für Ringe:
"Ist

φ : R \to S

ein Ringhomomorphismus, so ist sein Kern

ker φ

ein Ideal von

R

und sein Bild

im φ

ein Teilring von

S

φ

faktorisiert dann über einen Ringisomorphismus

R \to_{s u r j .} R / 〈 ker φ 〉 \to_{i s o m .} im φ \to_{i n j .} S

."

In unserem Fall wäre dann

R = ℝ [X]

S = ℝ \times ℝ \times ℂ

ker φ = 〈 X^{4} - 1 〉

und

im φ \subset ℝ \times ℝ \times ℂ

, oder? Und meine Aufgabe ist, ein solches

φ

zu konstruieren/anzugeben.

> Nehmen wir mal [...] die Isomorphie

ℝ [X] / 〈 X^{2} + 1 〉 ≃ ℂ

.
> Um das einzusehen, definiere ich mir (analog zu deiner Aufgabe) die Abbildung

φ_{i} : ℝ [X] \to ℂ, p (X) \mapsto p (i)

> Sicher ist die Abbildung surjektiv: Sei

z := a + b i \in ℂ

, dann gilt für

p (X) = b X + a : p (i) = z

.
> Desweiteren gilt

ker φ_{i} = 〈 X^{2} + 1 〉

. Damit folgt aus dem Homomorphiesatz (für Ringe), dass die oben angegebene Isomorphie

ℝ [X] / 〈 X^{2} + 1 〉 ≃ ℂ

gilt.

Hast du hier einfach ein "dir passendes" Polynom

p (X) = b X + a \in ℝ [X]

rausgepickt?

Ich hoffe, ich liege bis hierhin richtig xD

Was ich noch nicht so ganz zusammenkriege, ist, warum ist die Surjektivität von

φ : ℝ [X] \to ℝ \times ℝ \times ℂ, p (X) \mapsto (p (1), p (- 1), p (i))

zeigen muss.

Dass ich

ker φ

bestimmen muss, wurde mir jetzt klar (damit das mit der Abbildungskette im Satz oben passt), und dass dieser gleich

〈 X^{4} - 1 〉

sein sollte.

Nachtrag: Ich weiß nicht, welches

p

ich habe. Aber für die Surjektivität von

φ

zeige ich dann, dass die Bilder

p (1), p (X), p (X^{2}), . . ., p (X^{n})

der (Standard-)Basis

1, X, X^{2}, . . ., X^{n}

von

ℝ [X]

den Zielraum

ℝ \times ℝ \times ℂ

aufspannen. Habe ich dich so richtig verstanden?

michaL aktiv_icon

23:10 Uhr, 28.12.2019

Hallo,

> Hast du hier einfach ein "dir passendes" Polynom p(X)=bX+a∈ℝ[X] rausgepickt?

Nun, ich wollte doch zeigen, dass die Einstzungshomomorphismus surjektiv ist. Ich musste also ein

p \in ℝ [x]

finden, sodass

p (i) = a + i b

ist.
Da ja bei der Einsetzung nur das

x

durch ein

i

ersetzt wird, schien mir die Wahl von

p

zwangsläufig.

> Was ich noch nicht so ganz zusammenkriege, ist, warum ist die Surjektivität von
> φ:ℝ[X]→ℝ×ℝ×ℂ,p(X)↦(p(1),p(−1),p(i)) zeigen muss.

Hm, dann solltest du dir meinen vorherigen post noch einmal aufmerksam durchlesen, denn genau darauf versuche ich dich mit meinen Antworten zu lenken:
Du willst einen Isomorphismus

φ : R / I \to S

finden.
Gemäß Homomorphiesatz reicht es, einen surjektiven Homomorphismus

ψ : R \to S

zu finden, für den

ψ (R) = S

gilt.

Und nun sollst du genau diese (offenbar unstrittige) Tatsache für deine spezielle Aufgabe nutzen. Und du hast Glück, ich habe dir den größten Teil der Arbeit abgenommen: die Abbildung

ψ

zu finden.

> Dass ich kerφ bestimmen muss, wurde mir jetzt klar (damit das mit der Abbildungskette im Satz oben passt),
> und dass dieser gleich ⟨X4−1⟩ sein sollte.

Das ist jedenfalls korrekt.

> Nachtrag: Ich weiß nicht, welches p ich habe. Aber für die Surjektivität von φ zeige ich dann, dass die Bilder
> p(1),p(X),p(X2),...,p(Xn) der (Standard-)Basis 1,X,X2,...,Xn von ℝ[X] den Zielraum ℝ×ℝ×ℂ aufspannen. Habe
> ich dich so richtig verstanden?

Ja, kann man so machen. Hier käme man doch aber einfacher davon zu beweisen, dass die Elemente einer von dir gewählten Basis Urbilder haben.

Bedenke, dass

φ : ℝ [x] \to ℝ \times ℝ \times ℂ

als

ℝ

-Vektorraumhomomorphismus aufgefasst werden kann.
Eine solche Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn es für alle Elemente einer Basis des Bildraums (also einer Basis von

ℝ \times ℝ \times ℂ

) Urbilder gibt. Oder noch deutlicher:
Wenn es ein

p \in ℝ [x]

gibt, sodass

φ (p) = (p (1), p (- 1), p (i) = (1, 0, 0)

gilt und es ein

q \in ℝ [x]

gibt, sodass

φ (q) = (q (1), q (- 1), q (i) = (0, 1, 0)

gilt und es ein

r \in ℝ [x]

gibt, sodass

φ (r) = (r (1), r (- 1), r (i) = (0, 0, 1)

gilt und es ein

s \in ℝ [x]

gibt, sodass

φ (s) = (s (1), s (- 1), s (i) = (0, 0, i)

gilt, dann ist die Abbildung surjektiv.

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1490866

1490756

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?