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Ringmorphismus
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Körper, Ring, Ringhomomorphismus
 
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Moin, kurze Frage zu der folgenden Aufgabe. Ich soll zeigen, dass jeder Ringmorphismus entweder Injektiv oder Nullmorphismus ist (def. Nullmorphismus steht in der Aufgabe) Ich würde folgendermaßen rangehen: Angenommen der Ringmorphismus ist NICHT Injketiv, dann gilt: a und aus ungleich aber //ab hier ist es nicht Formal und hier bräuchte ich Hilfe// mein Gedanke wär dann jetzt, dass ⊕ wobei ⊕ als - zu deuten ist. Also . Andernfalls verstehe ich nicht ganz, wie das dann auf das Neutrale Element von schließen soll, außerdem müsste ich es ja auch für die Verknüpfung ⊗ zeigen... Könnte mir da jemand helfen bzw. einen Gedankenanstoss geben, sodass ich fortführen kann? :-) Wenn der Ringmorphismus dann Injektiv wär, dann ist der halt Injektiv, glaube da müsste man dann nicht explizit was zu beweisen, oder?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ja, schon richtig. Seien , so dass . Also . Da , ist es invertierbar, es existiert also . Dann aber . Jetzt bleibt nur zu verstehen, warum aus folgt, dass es ein Nullhomomorphismus ist. |
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Na gut, dann bin ich ja schonmal auf dem richtigen Weg. Zur frage, warum es ein Nullmorphismus ist, könnte ich ja einfach definieren, dass Aufgrund der Eigenschaften eines Ringes, ein neutrales Element mit ⊕ existiert und dies dann halt die besagte 0 ist (oder?) Und darüber hinaus fühle ich mich aber noch unwohl mit den Verknüpfungen, schließlich werden +,*,⊕,⊗ nicht definiert. Deswegen versteh ich nicht ganz, wie/warum ich annehmen darf, dass überhaupt mit den Verknüpfungen existiert. Danke :-) |
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"Und darüber hinaus fühle ich mich aber noch unwohl mit den Verknüpfungen, schließlich werden +,*,⊕,⊗ nicht definiert." Was heißt nicht definiert? Es ist eine allgemeine Aussage, für alle mögliche Körper und Ringe. Daher können sie auch nicht konkret definiert sein. Aber wichtig ist nur, dass sie die Definitionen erfüllen. "Deswegen versteh ich nicht ganz, wie/warum ich annehmen darf, dass f(a−b)=0 überhaupt mit den Verknüpfungen existiert." Weil per Definition eines Morphismus . Minus links und rechts ist nicht dasselbe, ich bin nur zu Faul, das mit speziellen Symbolen zu schreiben. |
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Wenn man die Symbole aus der Hausaufgabe benutzen würde, stände dann ja f(a⊕b) Wie kann ich denn dann formal argumentieren, dass f(a⊕b) ist. Ich nehme ja nur an, dass ,,⊕" quasi ,,-" ist. Hoffe so ist meine Frage einfacher zu verstehen. |
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ist Plus, nicht Minus. Formal z.B. so . |
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danke :-) |
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