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Bei der folgenden Aufgabe habe ich enorme Schwierigkeiten: Seien A, B Mengen und f: A→B eine Funktion. Zeigen Sie mit einem Ringschluss von der Form (i)→ (ii)→ (iii) → (i), dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) f ist injektiv
(ii) Für alle X, Y⊆ A gilt: f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y)
(iii) Für alle X, Y⊆ A gilt: X ∩ Y = ∅ → f(X) ∩ f(Y) = ∅
Meines Erachtens ist hier kein Beweis hin und zurück notwendig, sondern eine Richtung reicht aus, da es ja ei Ringschluss sein soll. Bei (i) hätte ich lediglich die Injektivität bewiesen. Aber das reicht bestimmt nicht aus, oder? Man sollte doch von der Injektivität auf die Aussage (ii) schließen? Die Aufgabe bereitet mir massive Schwierigkeiten.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo,
als erster Schritt ist, den Beweis zu führen: (i) (ii). . wir setzen voraus, dass inektiv ist und wollen zeigen: .
Zunächst zeigen wir: Sei also . mit . Wegen ist . Wegen ist . Insgesamt also . (Beachte: Dieser Teil der Aussage gilt auch, wenn nicht injektiv ist.)
Zeige: Sei also . Dann existier mit und mit . Weil injektiv ist, ist und wir habe mit also .
Jetzt Du .
Gruß pwm
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