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Ringschluss Beweis äquivalenter Aussagen

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Tags: Äquivalenzaussagen über Funktionen beweisen

 
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BukixD

BukixD aktiv_icon

19:14 Uhr, 08.12.2021

Antworten
Bei der folgenden Aufgabe habe ich enorme Schwierigkeiten:
Seien A, B Mengen und f: A→B eine Funktion. Zeigen Sie mit einem Ringschluss von der Form
(i)→ (ii)→ (iii) → (i), dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(i) f ist injektiv

(ii) Für alle X, Y⊆ A gilt: f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y)

(iii) Für alle X, Y⊆ A gilt: X ∩ Y = ∅ → f(X) ∩ f(Y) = ∅


Meines Erachtens ist hier kein Beweis hin und zurück notwendig, sondern eine Richtung reicht aus, da es ja ei Ringschluss sein soll. Bei (i) hätte ich lediglich die Injektivität bewiesen. Aber das reicht bestimmt nicht aus, oder? Man sollte doch von der Injektivität auf die Aussage (ii) schließen? Die Aufgabe bereitet mir massive Schwierigkeiten.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:12 Uhr, 09.12.2021

Antworten
Hallo,

als erster Schritt ist, den Beweis zu führen: (i) (ii).
D.h. wir setzen voraus, dass f:AB inektiv ist und wollen zeigen: f(XY)=f(X)f(Y).

Zunächst zeigen wir: f(XYf(X)f(Y):
Sei also bf(XY),d.h. xXY mit f(x)=b. Wegen xX ist b=f(x)f(X). Wegen xY ist b=f(x)Y. Insgesamt also bf(X)f(Y).
(Beachte: Dieser Teil der Aussage gilt auch, wenn f nicht injektiv ist.)

Zeige: f(X)f(Y)f(XY):
Sei also bF(X)f(Y). Dann existier xX mit b=f(x) und yY mit b=f(y). Weil f injektiv ist, ist x=y und wir habe b=f(x) mit x=yXY, also bf(XY).

Jetzt Du ...

Gruß pwm
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