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Ringtheorie
Schüler Grundschule, 4. Klassenstufe
Tags: kommutativer Ring
 
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Hallo, mein Thema, zu dem diese Frage gehört ist die Gruppentheorie. Im Internet habe ich folgende def. gefunden: ein Ring heißt kommutativ, wenn seine kommutative Halbgruppe kommutativ ist. . Meine Frage: aber nach der def. wäre jeder Ring, bei dem eine Menge mit rellen Elementen ist, kommutativ, denn . Oder haben sie in der def. Einfach nur eine andere Notation benutzt und mit kommutative Halbgruppe eine kommutativ geschriebene Halngruppe gemeint? ;-) |
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Möglicherweise hast du eine schlecht formulierte Stelle gefunden (Quelle Internet spricht ja nicht für Qualität) oder hier falsch abgetippt. Jedenfalls sollte es eher heißen: Ein Ring heißt kommutativ, wenn seine *multiplikative* Halbgruppe kommutativ ist. Ausführlicher: heißt Ring, wenn 1. kommutative Gruppe ist 2. Halbgruppe ist 3. die Distributivgesetze gelten Falls zusätzlich die Halbgruppe sogar kommutativ ist, heißt kommutativer Ring. Nicht jeder Ring, für den gilt, ist deshalb automatisch ein kommutativer Ring, denn es kommt neben ja auch auf und an. Wenn allerdings die in erwähnten Addition und Multiplikation mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von übereinstimmt, dann ist in der Tat automatisch kommutativ. Allgemeiner: Jeder Unterring eines kommutativen Rings ist kommutativ. Das dürftest du schon von Gruppen her kennen: Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist abelsch. |
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Ja, eine Halbgruppe heißt kommutativ , wenn eine Gruppe mit folgenden Eigenschaften ist: Ich habe als Verknüofung einfach genommen. In diesem Fall ist . Also ist eine Halbgruppe, oder? Und kommutative Halbgruppe heißt doch, dass für die Halbgruppe auch ? Wenn ja, wäre jede Halbgruppe mit und teilmenge kommutativ, oder? Und bei teilmenge ist das doch der Fall. Also wäre jeder Ring mit abelsche Gruppe und (a+b)c=ac+bc und ab+bc ein kommutativer Ring. ;-) |
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Nein, das was du an Eigenschaften notierst, macht noch keine kommutative Halbgruppe aus. Das ist das Assozitivgesetz, nicht das Kommutativgesetz. Außerdem ist im Zweifelsfall keine Gruppe, denn in der wäre Assozitivität ja ohnehin erfüllt. Aber am Ende stimmt es. Oder wie ich oben sagte: Jeder Unterring eines kommutativen Ringes ist kommutativ. |
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Ja, entschuldigung, bei meiner Def. Der Halbgruppe habe ich statt =menge ausversehen Gruppe geschrieben. Also ist doch der Fazit: Jede Menge mit abelsche Gruppe und teilmenge und und ein kommutativer Ring. wahr? ;-) |
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Es ist sogar so, dass für jede Menge für die bezüglich der Addition auf eine Gruppe ist und bezüglich der Multiplikation auf abgeschlossen ist, ein kommutativer Ring ist. Alle erforderlichen Gesetzmäßigkeiten ergeben sich daraus, dass sie in gelten. |
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Vielen Dank, hagman, ist geklärt. ;-) |
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