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Romberg-Integration

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Tags: Numerik, Romberg-Integration

Lexiii92 aktiv_icon

20:25 Uhr, 07.05.2017

Guten Abend,

Thema: Romberg-Integration

Formel 1 zu 1 aus dem Skript: Trapeznäherungen des Romberg-Integrationsschemas:

R_{k,1} = \frac{1}{2} (R_{k - 1,1} + h_{k - 1} \sum_{j = 1}^{2^{k - 2}} f (a + (2 j - 1) h_{k}))

für

k = 2,3, ..., n

und

h_{k} = \frac{b - a}{2^{k - 1}}

Die Aufgabe lautet in Orginalwortlaut:

Berechnen Sie das Integral der Funktion

f (t) = e^{t} + 3 t - tan (t)

mit dem Romberg-Integrationsschema im Intervall I

= [0; 1]

. Brechen Sie das Verfahren ab, wenn die Genauigkeit

10^{- 2}

beträgt.

Ich nehme an, dass

a = 0

und

b = 1

ist. Jedoch verstehe ich nicht dieses

R_{k - 1,1}

. Wie ist das gemeint?

Beginnen muss ich auf jedenfalls für

k = 2

sollte ich doch bekommen:

R_{2,1} = \frac{1}{2} (R_{k 1,1} + h_{1} \sum_{j = 1}^{1} f (0 + (2 - 1) \cdot 1))

Also:

R_{2,1} = \frac{1}{2} (R_{k 1,1} + h_{1} \sum_{j = 1}^{1} f (1))

Aber irgendwie blicke ich da nicht ganz durch, da mir die Laufindexe nicht verständlich sind. Zudem muss ich wohl erst die Trapezregel verwenden? Für die nötigen Korrekturen und paar grundsätzliche Tipps wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße,

Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:05 Uhr, 08.05.2017

Hallo,

es geht wohl ungefähr darum: Wenn Du die Trapezregel für verschiedene Schrittweiten auswertest und dabei die Schrittweiten immmer halbierst, dann kannst Du ja die Summe zur Schrittweite

h

bei der Berechnung mit der Schrittweite

\frac{h}{2}

verwenden. Und das beschreibt die Formel mit den

R_{k 1}

.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

16:20 Uhr, 08.05.2017

Hallo,

okay im Skript ist die Trapezregel definiert wie folgt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)) - \frac{f^{(4)} (c)}{2880} {(b - a)}^{5}

für beliebige

c

i n [a; b]

.

Aber wie löse ich jetzt meine gepostete Aufgabe? Ich habe ja in der Formel keine Schrittweite gegeben? Irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter...

Ich starre es an und es kommt nichts bei raus.

Wie soll ich denn jetzt konkret das

R_{k,1}

berechnen? Ich habe es ja ansatzweise versucht im Startbeirtrag, war das so okay?

Liebe Grüße und danke,

Lexi

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 08.05.2017

Hallo,

bin etwas überrascht. Ich kenne diese Regel als Simpson-Regel?

Auf jeden Fall wird diese und auch die Trapezregel so erweiter, dass man das Intervall

[a, b]

in Teilintervalle der Schrittweite

h

einteilt und auf jedes Teilintervall diese Regel anwendet. Das werdet Ihr wohl auch besprochen haben. Vielleicht schaust Du mal.

Alternativ: Trapezregel bei Wikipedia.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

18:25 Uhr, 08.05.2017

Hallo,

naja ich werde nicht bei Wikipedia stöbern, wenn ich die Aufgaben in der Klausur nach Skript-Notation lösen soll

: (

sonst breche ich mir erneut das Genick mit einem Fehlversuch.

Angefangen hat alles bei der Mittelpunktregel. Da ist die Notation bei Wikipedia zu meinem Skript

1 : 1

. Abgeleitet ist diese von der Newton'schen Interpolationsformel.

Wenn man ein Interpolationspolynom 1. Ordnung verwendet dann gelangt man zu der im vorherigen Post falsch beschriebenen Trapezregel. Das war die Simpson-Regel. Sorry

: (

Die Trapezregel ist definiert:

\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} - \frac{f^{''} (c)}{12} {(b - a)}^{3}

(Trapezregel und Mittelpunktregel sind beider 3. Ordnung und die Trapezregel ist nicht genauer als die Mittelpunktregel)

Daraus wieder lässt sich eine Fehlerformel 5. Ordnung herleiten. Die soggenannte Simpson-Regel:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)) - \frac{f^{(4)} (c)}{2880} {(b - a)}^{5}

Von der "einfachen" Simpson-Regel gelangt man zu der soganannten zusammengesetzten Simpson-Regel mit einem Fehler von

- \frac{h^{4} (b - a)}{180} f^{(4)} (c)

Zusammengesetzte Simpson-Regel:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{h}{3} (f (a) + 2 \sum_{j = 1}^{\frac{n}{2} - 1} f (x_{2 j}) + 4 \sum_{j = 1}^{\frac{n}{2}} f (x_{2 j - 1}) + f (b)) - \frac{h^{4} (b - a)}{180} f^{(4)} (c)

für beliebige

c

i n [a; b], n :

gerade ganze Zahl,

h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + i_{h}

In ähnlicher Form lassen sich auch für die Trapez- und Mittelpunktregel zusammengesetzte Formeln herleiten.

Und die Romberg-Integration verwendet die zusammengesetzte Trapezregel um eine bessere Approximation zu erhalten mittels Richardson-Extrapolation.

Soll ich die Herleitung präsentieren? Ich würde nämlich gerne verstehe wie ich diese Romberg-Integration durchführen soll, denn sonst bin ich aufgeschmissen

: (

Grüße

Lexi

pwmeyer aktiv_icon

10:19 Uhr, 09.05.2017

Hallo,

mir ist noch nicht klar, was jetzt überhaupt die Frage ist.

Bisher haben wir doch nur über die erste Spalte der Romber-Integration gesprochen und die besteht aus den Werten der zusammengesetzten Trapezregel:

R_{k,1}

steht für den Wert zur Schrittweite

h_{k} = \frac{b - a}{2^{k - 1}}

. Diese Werte werden durch die von Dir angegebenen Rekursionsformeln berechnet.

Bie

k = 2

hast Du einen Fehler, es ist

R_{2,1} = \frac{1}{2} \cdot [(R_{1,1}) + (b - a) f (a + \frac{b - a}{2})]

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

09:26 Uhr, 10.05.2017

Hallo pwmeyer,

also die Aufgabe lautete ja im Startbeitrag: berechnen Sie das Integral der Funktion

f (t) = e^{t} + 3 t - tan (t)

mit dem Romberg-Integrationsschema im Intervall I

= [0; 1]

.
Brechen Sie das Verfahren ab, wenn die Genauigkeit

10^{- 2}

beträgt.

Also ich stimme zu, für den ersten Schritt bekomme wir die Romberg-Integrationsformel:

R_{2,1} = \frac{1}{2} [R_{1,1} + (b - a) \cdot f (a + \frac{b - a}{2})]

wobei das

(b - a)

mich noch stutzig macht. Es ist ja

h_{k - 1} = (b - a)

es ist also so zu verstehen, dass ich für

k = 2

einen Wert reduzieren mussen wegen dem

- 1

k = 1

dann komme ich auch auf

(b - a)

.

Für

k = 3

gebe ich es dann mal an, ob ich es richtig verstanden habe:

R_{3,1} = \frac{1}{2} [R_{2,1} + \frac{b - a}{2} \cdot [f (a + \frac{b - a}{4}) + f (a + 3 \cdot \frac{b - a}{4})]]

Soweit so gut? Um es jetzt explizit auszurechnen muss ich mein

R_{1,1}

mittels zusammengesetzter Trapezregel berechnen? Die restlichen Terme kann ich ja ausrechnen. Und momentan hänge ich an der Stelle.

Die zusammengesetzte Trapezregel lautet bei uns im Skript:

\int_{a}^{b} f (x) d x \frac{h}{2} (f (a) + 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f (x_{j}) + f (b)) - \frac{h^{2} (b - a)}{12} \cdot f'' (c)

für beliebige

c \in [a; b], n

ganze Zahl,

h = \frac{b - a}{n}, x_{j} = a + j h

Und das wäre mein

R_{1,1}

?

Würde mich über weiteres Bearbeiten der Aufgabe freuen und danke herzlich,

Grüße

Lexi

pwmeyer aktiv_icon

10:47 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

R_{1,1}

ist doch

-

in Eurer Schreibweise - die Trapezregel zur Schrittweite

h_{1} = b - a,

also

R_{1,1} = \frac{1}{2} \cdot (b - a) \cdot (f (a) + f (b))

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

17:38 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

also bevor ich es ausrechne wollte ich jetzt nochmal nachfragen. Ich muss

R_{1,1}

einmal mittels normaler Trapezregel berechnen? Nicht mit der zusammengesetzten Trapezregel?
Und dann kann ich mit der Romberg-Integration fortfahren?

Ich habe für die Trapezregel:

\int_{a}^{b} f (t) d t = (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} = \int_{0}^{1} e^{t} + 3 t - tan (t) d t = (1 - 0) \cdot \frac{1 + e + 3 + 1,557}{2} = 4,1378 = R_{1,1}

?

den Fehlerterm muss ich nicht ausrechnen, oder? Weil da weiß ich nicht was ich für das

c

annehmen soll für einen Wert.

Vielen Dank,

Grüße

Lexi

pwmeyer aktiv_icon

08:57 Uhr, 11.05.2017

Hallo,

ja. Allerdings wäre das zweite Gleichheitszeichen durch

\approx

zu ersetzen.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

07:18 Uhr, 13.05.2017

Hallo,

okay. Also der erste Schritt ist definitionsgemäß dann für

k = 2 :

R_{2,1} = \frac{1}{2} (R_{1,1} + h_{1} \sum_{j = 1}^{1} f (a + h_{2}))

mit

h_{k} = \frac{b - a}{2^{k - 1}}

ergibt sich dann wie schon festgestellt:

R_{2,1} = \frac{1}{2} (R_{1,1} + (b - a) \sum_{j = 1}^{1} f (a + \frac{b - a}{2}))

Ausgeführt:

R_{2,1} = \frac{1}{2} (4,1378 + (1 - 0) \sum_{j = 1}^{1} f (0 + \frac{1 - 0}{2})) = \frac{1}{2} (4,1378 + f (\frac{1}{2})) = 2,6024

Für den zweiten Schritt, also

k = 3 :

R_{3,1} = \frac{1}{2} (R_{2,1} + h_{2} \sum_{j = 1}^{2} f (a + h_{3}) + f (a + 3 h_{3}))

R_{3,1} = \frac{1}{2} (R_{2,1} + (\frac{b - a}{2}) \sum_{j = 1}^{2} f (a + \frac{b - a}{4}) + f (a + 3 \cdot \frac{b - a}{4}))

R_{3,1} = \frac{1}{2} (2,6024 + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{2} f (a + \frac{1}{4}) + f (a + \frac{3}{4})) = \frac{1}{2} \cdot (2,6024 + \frac{1}{2} \cdot (1,7769 + 3,4354)) = 2,604275 \approx 2,6043

mit

f (\frac{1}{4}) = 1,77687 \approx 1,7769

und

f (\frac{3}{4}) = 3,4354

Bevor ich mit einem Fehler weiterrechne wäre ich äußerst dankbar für eine Überprüfung meiner Rechnung. Außerdem hätte ich noch eine Frage wie ich herausfinden soll, dass die Genauigkeit

10^{- 2}

beträgt???

Vielen Dank,

Grüße

Lexi

pwmeyer aktiv_icon

08:48 Uhr, 15.05.2017

Hallo,

Du musst mal selbständig werden: Die erste Spalte ist eine algorithmische Variante, um die Werte der zusammengesetzten Trapezregel zu berechnen. Du kannst diese Werte also selbst überprüfen, indem Du die zusammengesetzte Trapezregel verwendest.

Was den Fehler angeht, da muss Du mal die Fehlerformel in Eurem Skript nachschauen.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

21:15 Uhr, 15.05.2017

Hallo,

die erste Spalte? Was ist damit gemeint?

Also jetzt weiß ich nicht weiter. Trapezregel kann ich schon überprüfen, klar. Aber zusammengesetzte Trapezregel? Die brauche ich doch nicht für die Romberg-Integration?

Ich wollte eig nur sichergehen, dass ich fehlerlos die Formel ausgewertet habe, damit ich weiterrechnen kann, wäre blöd mit einem Fehler zu rechnen. Ich habe es auf Plausibilität geprüft und es war soweit in Ordnung.

Ja die Genauigkeit hängt von der Schrittweite ab. Aber eine konkrete Formel sehe ich für den Fehler nicht. Für die Trapezregel gibt es eine Fehlerformel. Hatte ich angegeben. Das war der Term

- \frac{f'' (c)}{12} {(b - a)}^{3}

. Daher weiß ich nicht wie ich die Genauigkeit auf

10^{- 2}

prüfen soll?

Grüße und danke,

Lexi

Lexiii92 aktiv_icon

21:15 Uhr, 15.05.2017

- \frac{f'' (c)}{12} {(b - a)}^{3}

. Daher weiß ich nicht wie ich die Genauigkeit auf

10^{- 2}

prüfen soll?

Grüße und danke, ich hoffe wir können die Aufgabe bald beenden, jedenfalls gebe ich mein Bestes um das zu erreichen.

Lexi

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