Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Rotation

Rotation

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

matri09 aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.11.2012

F \times G

sei gegeben. Berechnen Sie

\nabla \times (F \times G)

mit hilfe der rechenregeln des Nabla Operators.

Wie soll ich das machen?
Wenn

F \times G = V

sei. Dann ist

\nabla \times V = (\frac{\partial V_{3}}{\partial y} - \frac{\partial V_{2}}{\partial z}) * e_{1} + (\frac{\partial V_{1}}{\partial z} - \frac{\partial V_{3}}{\partial x}) * e_{2} + (\frac{\partial V_{2}}{\partial x} - \frac{\partial V_{1}}{\partial y}) * e_{3}

Was genau soll ich da jetzt berechnen?

DerDepp aktiv_icon

17:44 Uhr, 27.11.2012

Hossa ;-)

Für das Vektorprodukt gilt die "bac"-Regel:

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \vec{b})

Daher wird dein Rotationsterm zu:

\nabla \times (\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{F} (\nabla \vec{G}) - \vec{G} (\nabla \vec{F})

Ok?

Hier habe ich einen FEHLER gemacht!!! Korrektur siehe mein Posting weiter unten... Sorry!!!

matri09 aktiv_icon

22:27 Uhr, 27.11.2012

Das verstehe ich nicht ganz :(

Bei wikipedia steht folgendes:

\nabla \times (A \times B) = (B \cdot \nabla) A - B (\nabla \cdot A) + A (\nabla \cdot B) - (A \cdot \nabla) B

Aber

B \cdot \nabla

ist doch das gleiche wie

\nabla \cdot B

oder nicht?
(alles sind natürlich vektoren)

Von daher wäre doch

\nabla \times (A \times B) = 2 (B \cdot \nabla) A - 2 B (\nabla \cdot A)

Ich brauche wirklich hilfe bei dieser Aufgabe :(

lepton

22:33 Uhr, 27.11.2012

Am elegantesten und einfachsten lassen sich bei Nabla-Produkten oder Rechengesetzen mit dem sog. antisymm. Epsilontensor

ε_{i j k}

berechnen.

matri09 aktiv_icon

22:38 Uhr, 27.11.2012

Den Epsilontensor sollten wir soweit ich weiß aber nicht benutzen :-) In der Aufgabe stand sei das Vektorprodukt

F \times G

gegeben. Berechnen sie

\nabla \times (F \times G)

mit Hilfe der Rechenregeln des Nabla Operators.

Was muss ich jetzt genau machen? Es verwirrt mich dass da steht das

F \times G

gegeben sei.

lepton

22:54 Uhr, 27.11.2012

Naja, dann muss man halt leider auf Eleganz verzichten. Wenn du dir doch deine Identität für dein doppeltes Kreuzprodukt anschauest, dann erkenn man doch, dass du weils in den Klammern die Skalarprodukte anwenden musst, wobei im zweiten und dritten Summanden die Divergenz der entsprechenden Vektorfelder in Betracht kommen.
Def. Divergenz:

\nabla \cdot \vec{A} = \sum_{i} \partial_{i} A_{i}

Hinweis: Das Sklarprodukt ist nicht kommutativ!

\Rightarrow \nabla \cdot \vec{A} \neq \vec{A} \cdot \nabla

matri09 aktiv_icon

23:11 Uhr, 27.11.2012

Wieso ist das Skalarprodukt nicht kommutativ?

\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}

oder nicht? Ist das nur beim nabla Operator nicht der fall? wenn ja wieso?

lepton

23:20 Uhr, 27.11.2012

Ja, beim Nabla gilt das nicht, da die Symmetrie verloren geht, kannst ja kurz selber verifizieren wozu das Ganze dann führen wird. Wir haben hier ein Differentialoperator der im eigentlichen Sinne selbst eigentlich kein Vektor ist.

matri09 aktiv_icon

23:27 Uhr, 27.11.2012

Das verstehe ich nicht ganz. Was wäre denn dann nun

\vec{A} \cdot \nabla

lepton

23:35 Uhr, 27.11.2012

Ok, dann führen wir mal einen Vergleich:

\nabla \cdot \vec{A} = \partial_{x} A_{x} + \partial_{y} A_{y} + \partial_{z} A_{z}, \vec{A} \in R^{3}

\vec{A} \cdot \nabla = A_{x} \partial_{x} + A_{y} \partial_{y} + A_{z} \partial_{z} \neq \nabla \cdot \vec{A}

Wenn man mit dem total antisymm.

ε

-Tensor vertraut ist, kann man diese Antikommutativität effektiver nachvollziehen.

DerDepp aktiv_icon

17:34 Uhr, 28.11.2012

Hossa ;-)

Ich habe nochmal nachgelesen. Ich habe beim "Nabla-Kalkül" vergessen, dass die Produktregel immer vor den Rechenregeln für Vektoren angewendet werden muss. Daher ist meine obige Aussage falsch :(

1) Produktregel anwenden (höchste Priorität!):

VOR den Vektor-Rechenregeln wird die Produktregel verwendet, indem die Vektoren markiert werden, auf die der Nabla-Operator wirkt:

\nabla \times (\vec{F} \times G) = \nabla \times (\underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} \times \vec{G}) + \nabla \times (\vec{F} \times \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}})

Von NUN an kann Nabla formal als normaler Vektor betrachtet werden!

2) Zur Vereinfachung werden die Rechenregeln für Vektoren angewendet. Hier bietet sich die Graßmann-Identität (auch "BAC"-Regel genannt) an,

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \vec{b})

\nabla \times (\underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} \times \vec{G}) = \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} (\nabla \vec{G}) - \vec{G} (\nabla \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}})

\nabla \times (\vec{F} \times \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) = \vec{F} (\nabla \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) - \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}} (\nabla \vec{F})

3) Im letzten Schritt werden die Ausdrücke so umgeformt, dass alle markierten Vektoren (auf die Nabla ja wirkt) rechts von ihm stehen und alle anderen Vektoren links von ihm:

\nabla \times (\underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} \times \vec{G}) = \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} (\nabla \vec{G}) - \vec{G} (\nabla \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}}) = (\vec{G} \nabla) \vec{F} - \vec{G} (\nabla \vec{F})

\nabla \times (\vec{F} \times \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) = \vec{F} (\nabla \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) - \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}} (\nabla \vec{F}) = \vec{F} (\nabla \vec{G}) - (\vec{F} \nabla) \vec{G}

Die geklammerten Terme sind darin das übliche Skalarprodukt. So gilt z.B.

(\vec{G} \nabla) \vec{F} = (G_{x} \frac{\partial}{\partial x} + G_{y} \frac{\partial}{\partial y} + G_{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{array}) = (\begin{array}{c} G_{x} \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + G_{y} \frac{\partial F_{x}}{\partial y} + G_{z} \frac{\partial F_{x}}{\partial z} \\ G_{x} \frac{\partial F_{y}}{\partial x} + G_{y} \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + G_{z} \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \\ G_{x} \frac{\partial F_{z}}{\partial x} + G_{y} \frac{\partial F_{z}}{\partial y} + G_{z} \frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{array})

Insgesamt gilt also:

\nabla \times (\vec{F} \times G) = (\vec{G} \nabla) \vec{F} - \vec{G} (\nabla \vec{F}) + \vec{F} (\nabla \vec{G}) - (\vec{F} \nabla) \vec{G}

Ich hoffe, meinen Fehler von oben durch dieses Posting wieder gerade gezogen zu haben und nicht zu viel Verwirrung erzeugt zu haben.

Viele Grüße

DerDepp

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1053814

1053387

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?