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Rotation, Gradient, Divergenz

Universität / Fachhochschule

Tags: divergenz, Funktion, Gradient, Rotation

r3negade aktiv_icon

16:24 Uhr, 08.11.2010

Hallo,

hätt eine dringedne bitte. und zwar folgendes:

ich muss beweises das folgende aussage gilt:

1)

rot grad

f (x, y, z) = 0

2)

div rot

f (x, y, z) = 0

ich habe leider keine ahnung, wie ich an dieses problem herangehen soll.
kann mir das hier bitte jemand erklären damit ich die aufgaben lösen kann.

vielen dank

r 3

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Yokozuna aktiv_icon

17:27 Uhr, 08.11.2010

Hallo,

man muß noch voraussetzen, daß die Funktion f zweimal stetig differenzierbar ist, damit man den Satz von Schwarz anwenden kann, der besagt, daß man unter obiger Voraussetzung die partiellen Ableitungen vertauschen darf, z.B. $\frac{\partial f_{z}}{\partial x \partial y} = \frac{\partial f_{z}}{\partial y \partial x}$ . Ansonsten muß man nur stur nachrechnen. Ich mache das mal für Aufgabe b) vor:

$\vec{f} = (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} \end{matrix})$

$d i v (\vec{f}) = \frac{\partial f_{x}}{\partial x} + \frac{\partial f_{y}}{\partial y} + \frac{\partial f_{z}}{\partial z}$ und

$r o t (\vec{f}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial f_{z}}{\partial y} - \frac{\partial f_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial f_{x}}{\partial z} - \frac{\partial f_{z}}{\partial x} \end{matrix} \\ \frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{x} \\ {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{y} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{z} \end{matrix})$

$g_{x}$ , $g_{y}$ und $g_{z}$ habe ich als Abkürzungen für die Komponenten von $r o t (\vec{f})$ eingeführt. Damit wird:

$d i v (r o t (\vec{f})) = d i v (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{x} \\ {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{y} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} g \end{matrix}}_{z} \end{matrix}) = \frac{\partial g_{x}}{\partial x} + \frac{\partial g_{y}}{\partial y} + \frac{\partial g_{z}}{\partial z} =$

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f_{z}}{\partial y} - \frac{\partial f_{y}}{\partial z}) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f_{x}}{\partial z} - \frac{\partial f_{z}}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y}) =$

$\frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial z \partial x} + \frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial z \partial y} - \frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial y \partial z}$

Nun ist ja wegen dem Satz von Schwarz $\frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial z \partial y} = \frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial y \partial z}, \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial x \partial z}, \frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial y \partial x}$

so daß sich die Terme paarweise aufheben. Deshalb ist

$d i v (r o t (\vec{f})) = \frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial z \partial x} + \frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial z \partial y} - \frac{\partial^{2} f_{z}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^{2} f_{y}}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^{2} f_{x}}{\partial y \partial z} = 0$

Bei der Aufgabe a) geht es dann analog.

Viele Grüße

Yokozuna

r3negade aktiv_icon

07:33 Uhr, 12.11.2010

ich steh komplett auf der leitung und verstehs einfach nicht

. .

.

magst du mir mal beispiel 1 vorrechnen, vielleicht hat das ja mehr sinn

...

.

vielen dank für die hilfe!

Yokozuna aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.11.2010

Hallo,

bei der ersten Aufgabe muß die Funktion f eine skalare Funktion sein. Ich nenne die Funktion jetzt mal $Φ$ , da f sehr häufig für Vektorfunktionen benutzt wird.

Also sei $Φ : R^{3} \to R$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist

$g r a d (Φ) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial Φ}{\partial x} \\ \frac{\partial Φ}{\partial y} \end{matrix} \\ \frac{\partial Φ}{\partial z} \end{matrix}) = : (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} \end{matrix}) = \vec{f}$

Der Gradient einer skalaren Funktion ist ja eine Vektorfunktion, die ich jetzt mal zur Abkürzung $\vec{f}$ genannt habe. Die tiefgestellten Indizes bei $f_{x}$ , $f_{y}$ und $f_{z}$ sind keine partiellen Ableitungen, sondern bezeichnen die x-, y- bzw. z-Komponente von $\vec{f}$ . Daß $g r a d (Φ)$ eine Vektorfunktion ist, ist gut so, denn rot kann man nur auf Vektorfunktionen anwenden. Es ist also:

$r o t (g r a d (Φ)) = r o t (\vec{f}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y} f_{z} - \frac{\partial}{\partial z} f_{y} \\ \frac{\partial}{\partial z} f_{x} - \frac{\partial}{\partial x} f_{z} \end{matrix} \\ \frac{\partial}{\partial x} f_{y} - \frac{\partial}{\partial y} f_{x} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial Φ}{\partial z}) - \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial Φ}{\partial y}) \\ \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial Φ}{\partial x}) - \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial Φ}{\partial z}) \end{matrix} \\ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial Φ}{\partial y}) - \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial Φ}{\partial x}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial z \partial y} - \frac{\partial^{2} Φ}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^{2} Φ}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^{2} Φ}{\partial z \partial x} \end{matrix} \\ \frac{\partial^{2} Φ}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^{2} Φ}{\partial x \partial y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

Die letzte Gleichheit gilt wieder wegen dem Satz von Schwarz, demzufolge man bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen bei den 2. Ableitungen die Reihenfolge der Ableitung vertauschen darf, also:

$\frac{\partial^{2} Φ}{\partial z \partial y} = \frac{\partial^{2} Φ}{\partial y \partial z} \Rightarrow \frac{\partial^{2} Φ}{\partial z \partial y} - \frac{\partial^{2} Φ}{\partial y \partial z} = 0$ und entsprechend für die beiden anderen Komponenten. Ansonsten habe ich nur die Definitionen von rot und grad verwendet.

Falls Du irgend etwas nicht verstehst, müßtest Du mir vielleicht sagen, an welcher Stelle das ist, sonst weiß ich nicht, was ich erklären soll.

Viele Grüße

Yokozuna

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