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Rotation um die zachse
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrix, Verständnisproblem, Z-Achse
 
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Ich habe ein Verständnisproblem bei der ROTATION um die Z-ACHSE, wenn man das mit einem ZAHLENWÜRFEL macht, wie der am Ende nach der ROT-Z liegt. Ich habe den Würfel wie folgt ausgerichtet: 6 Oben, 2 Links , 5 rechts, 4 zu mir, 3 nach vorne und 1 unten... Unter X-Drehung verstehe ich nun, die 6 geht nach rechts, die 2 nach oben und liegt jetzt auf 5... Oder im Originalzustand zurück, eine Y-Drehung (wo die 6 noch oben lag), wäre dann jetzt 4 Oben, liegt dann auf 3 und die 1 guckt zu mir... Aber bei Z?!? Rollt der dann nicht auf der Kante und steht so, dass die 2 und die 4 beide schräg oben sind und er berührt nur die Kante zwischen 5 und 3 den Boden? Oder ist eine Z-Drehung = 1Y und 1X zusammengefasst?! Ich finde kein wirklich veranschlichbares Material im Internet, was einen Körper um 45/90° auf der Z-Achse dreht, so dass ICH befreife, wie der Körper sich am Ende "gedreht" hat. Weil die ganzen Körper im Internet keine Markierungen haben, keine Zahlen oder Buchstaben. Ich versuche natürlich auch zu verstehen, wohin er sich räumlich bewegt, aber vorallem, was ist am Ende OBEN, welche Zahl des Zahlenwürfels... Ich muss eine Y-Rotation berechnen, ohne eine Y-Rotation durchführen zu können. Mir bleiben als Alternativen nur die X, Z -Rotationen und sämtliche Translationen sowie Skallierungen. Die Prüfungsaufgabe besagt, dass die Hardware für Rotation um Y defekt ist, man muss sich nun mit Translationen und Skallierungen und den übrigen Rotationen X und Z behelben. Aber ich möchte erstmal begreifen, was eine Z-Achsen Rotation tatsächlich bewirkt. Kann mir das einer sinnbildlich anhand von Zahlenwürfeln erklären? :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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hallo die z-Achse in deinem Würfel geht von unten nach oben, also von deiner 1 zur 6 wenn du darum um 90°drehst dann wandert deine 2 nach vorne, deine 1 nach rechts, die 5 nach hinten 1 und 6 bleiben. Gruß ledum |
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dann wandert deine 2 nach vorne Naja, die Drehungen um und y-Achse hat der Fragesteller ja so beschrieben, dass er, von der positiven Achse aus gesehen, Vierteldrehungen im mathematisch negativen Sinn, also im Uhrzeigersinn, ausgeführt hat. Bleibt man auch bei der Drehung um die z-Achse bei dieser Vorgangsweise, dann käme bei der beschriebenen Aufstellung des Würfels die 2 nach hinten und die 5 nach vorne. |
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Das heißt also, dass bei der Drehung um die Z-Achse der Würfel über die Kante rollt?! Es gäbe nämlich noch die Variante, für die ich garkeine Benennung habe (Im Urzeigersinn auf der Stelle drehen), nämlich wenn der Würfel sich einfach nur im Kreis dreht und die 6 immer nach oben guckt, nur halt dass der Würfel sich Kreise dreht... Also gibt es eigentlich 4 Achsen, um die sich das Objekt drehen kann... Wenn die Z-Achse die Drehung auf dieser Kante ist, dann wäre also Rotation-Z(180°), von 6 auf 1, wobei 5 zu mir, 2 nach vorne, 3 links, 4 rechts und 6 nach unten. Wechselt der Würfel dabei eigentlich auch den Standort, also kullert er dabei um 2 Würfel-Flächen nachhinten links wie ein Pferd auf dem Schachbrett, oder bleibt er Raum-Bezogen auf der gleichen Koordinate? Bzw. muss ich eine Verschiebung nachberechnen, um ihn auf die gleiche Stelle zu bringen, wie wenn ich ihn anders rotiert hätte?! Hintergrund ist, ich muss eine Y-Rotation durchführen, OHNE eine Y-Rotation durchzuführen... Man stelle sich ein Raumschiff vor, welches Schubdüsen für X, Y und Z hat. Aber die Y-Triebwerke sind alle kaputt :-) Also mache ich nun eine Z(180), dann mache ich eine -X(90), damit ist bei beiden die 4 oben... ABER WIE kriege ich dann die 6 nach vorne? (ich kann ihn ja nicht links gegen den Uhrzeigersinn drehen, weil dafür habe ich keine Achse?!)... Also was müsste ich machen, um eine Y-Drehenung zu machen, ohne eine Y-Drehung) Das ist nun das Problem. |
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ACHJA, und vielen Dank für die Tipps!!!!!!!! :-) |
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Es ist doch eine Frage wie der Würfel im KO liegt ZB. www.geogebra.org/m/pYbmdZNC www.geogebra.org/m/G7429jwF |
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Hallo, interessiert es dich, wie das ganze mit Rotationsmatrizen aussieht? Also z.B. eine Z-Rotation um den Winkel ? Gruß ermanus |
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Super 1000 DANK das Modell mit dem Bunten Würfel (2ter Link) hat mir sehr weiter geholfen, ich habe bei Y in meinen Berechnungen den Würfel immer falsch rum gedreht, wenn + oder - vertauscht... Faszinierendes Spielzeug. Das ist ja ein geiles Tool... Und ENDLICH weiß ich auch, wie sich die Z-Achse korrekt verhält. Vielen Dank. :-) Ich muss gleich noch die Matrizen dazu berechnen, ob ich bei einer Y-Drehung auf die gleichen Vectoren komme, wie bei einer -Z, +X, +Z Berechnung, denn in dem Graphen scheint sich das so korrekt zu verhalten... Demnach ist Y(90) = z(90) * X(90) * -Z(90)... Das Prüfe ich gleich noch :-) |
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Danke, für die Rückmeldung. Zu Drehmatrizen hab ich mal was gemacht Achsendrehungen www.geogebra.org/m/c6Q7gDmC Drehung um Ursprungsgeraden/Vektor www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/fdmmvvma Beliebige Achsen musst Du in den Ursprung verschieben (t Translationsvektor), Drehen und wieder zurück transformieren.. X = D ( X-t ) + t oder in Homogenen Koordinaten rechnen - dann sind alle affine Abbildungen in Matrizen darstellbar... |
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Vielen Dank nochmals :-) Ich hab das jetzt versucht, Mathematisch zu überprüfen, ob ich Y(90) durch die besagte Formel ersetzen kann... Gemäß der Aufgabenstellung suche ich ja einen Ersatz für Y(90) Rotation mit Hilfe anderer grafischen Bewegungsmöglichkeiten... Und ich hatte nun die These aufgestellt, dass -Z(90) * X(90) * Z(90) das selbe ist und in dem Grafik-Model verhält sich das auch so, aber wenn ich dazu nun die passenden Matrizen ausrechne, komme ich auf unterschiedliche ergebnisse... Ich habe mal als Bildpunkt P folgende Koordinaten verwendet: P0 = (5/5/1) Dann habe ich eine Y90 Rotation berechnet, daraus habe ich den Punkt P1 = (1/5/-5) erhalten. und für die Berechnung -Z(90) * X(90) * Z(90) habe ich am Ende P2 = (1/-5/5) erhalten. Anbei mal ein Screenshot, was ich da gerechnet habe: Laut der UNI-Formel soll man ja in der Reihenfolge "ZULETZT - DANN - ZUERST - P" Nach Falk habe ich also letztlich von links nach Rechts folgendes berechet: Z(90) * X(90) * -Z(90) * P und erhalte damit (1/-5/5) Was stimmt da nicht? :-(  |
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Hm, Deine Rotationsmatrizen sehen nicht gut aus - die sind suboptimal;-), weil es Spiegelungen sind det=-1. Mit meiner App Achsendrehungen komm ich auf das richtige Ergebnis {Do(90°,0,0,1), Do(90°,1,0,0), Do(-90°,0,0,1)} R_{zxz}:=Do(90°,0,0,1) Do(90°,1,0,0) Do(-90°,0,0,1) R_{zxz} P = oder mit GeoGebra Rotate(Rotate( Rotate(P, -90°,zAxis) ,90°, xAxis),90°,zAxis) > |
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Hallo :-) okay, da hab ich wohl echt die Formeln falsch übertragen. So, wie du das gerechnet hast, macht das Sinn. Vielen Dank. Jetzt hab ich eigentlich nur noch eine Frage, warum ist bei deiner Berechnung -Z(90) Matrix die 1 ganz unten rechts positiv? Weil, in der Basis-Formel ist die 1 Positiv, wenn man -Z(90) rechenen möchte, muss man sie doch invertieren? Und erhält dann eine -1?! Jedoch wenn man sie negativ hätte, käme bei dem Ergebnis der Vector P=(-1/5/-5) raus und das wäre wiederum falsch. Ich komme nicht drauf, warum ausgerechnet die 1 nicht invertiert wurde und das auch noch das richtige Ergebnis bringt. Also ich nahm an, denn ich Z(Phi) invertiere, erhalte ich -Z(Phi), aber dann wäre die 1 unten rechts eigentlich auch negativ... Hmmm... |
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Es soll ja wohl Z(-90) heißen. Drehmatrizen sind orthogonalmatrizen , die Inverse ist die Transponierte. Die Zeile/Spalte der Achsen Koordinate hat eine 1 in der Diagonalen. Wie sollte da was negatives entstehen beim invertieren? Als Kontrolle setze einfach die Derhmatrix für den negativen Winkel -90 an.... |
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Guten Morgen, nochmals vielen Dank! Okay, hab den Fehler in meiner Berechnung gefunden. Ich hab mir als Formelsammlung so eine Tabelle für die Rotationen (X,Y,Z) um die Grade 45,60,90,180 gemacht, um in der Prüfung schneller solche Berechnungen durchführen zu können. (bei uns in der Prüfung sind 4 selbsterstellte Formelsammlungsblätter erlaubt gewesen!) Und gestern habe ich die ROT-Z(90) abgelesen und alles, wo eine -1 steht, habe ich einfach eine 1 drauß gemacht und umgekehrt... Aber die 1 unten in der Ecke beruht garnicht auf COS(90) sondern auf Vorgabe, daher bleibt die natürlich gleich, hast recht.... Ich hatte das also gestern falsch auf -90 umgerechnet... An der Stelle wird ja garkein Winkel umgerechnet. Ich pack die Tabelle mal zur allgemeinen Belustigung mit bei :-D) Also - ne - ich meinte keine Inverse Matrix, ich meinte nur das Invertieren der Werte von + auf - bzw. umgekehrt, sofern es SIN/COS sind... Aber das es auch noch (schwarze) Werte ohne SIN/COS gab, war mir in dem Moment entfallen... Das ist natürlich der Nachteil, wenn man - wie ich - nicht mehr mit der Ursprungsformel arbeitet und dann nicht genaustens darauf achtet, dass die Werte einen anderen Ursprung hatten... Nuja, nun sind alle Klarheiten beseitigt, ich bedanke mich ganz herzlich an alle bei der Lösung meines Problems. :-) Als FAZIT zur Ursprünglichen Frage der Z-Koordinate, hat mir dieser Link von maxsymca am besten weiter geholfen: www.geogebra.org/m/G7429jwF Demnach ist die Drehung auf der Z-Achse einfach nur, dass der Würfel einfach auf der Stelle liegen bleibt, die Ziffer 6 bleibt oben und die 6 oben dreht sich einfach nur im Uhrzeigersinn, bzw. dagegen... Und auch der Mathemathische Beweis hat mir gut geholfen, das nochmal zu prüfen, ob es wirklich das gleiche Ergebnis bringt... Natürlich nur in der Theorie, denn die Ersatzberechnung verbraucht letztlich mehr Energie :-D) bzw. Rechenaufwand und Zeit...  |
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Bezog sich auf "ermanus 14:47 Uhr, 04.03.2020" P.S. sorry, hatte ich garnicht drauf reagiert. Nein, ich wollte wissen, wie die Z-Achse sich dreht (rein optisch verhält) und wie sich letztlich das ganze "ersetzen" lässt mit Hilfe anderer Bewegungen bzw. wie man mit Z und X eine Y Drehung ersetzen kann. Aber hat sich nun gefunden, vielen Dank! |
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Vielen Dank für die freundliche Rückmeldung :-) Gruß ermanus |
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Vielleicht noch mal zur Klärung: Z(90) Z(-90) = E Drehe um z-Achse * Drehe zurück = Einheitsmatrix (bin wieder auf Anfang) ===> Z(-90) ist die Inverse zu Z(90) >ich meinte nur das Invertieren der Werte von + auf - bzw. umgekehrt, sofern es SIN/COS sind Die Inverse erhält man sicher nicht durch Multiplikation mit (-1): z.B. Und wie sich der Würfel bewegt hängt von der Lage des Würfels ab, was aber keinen Einfuß aufs Ergebnis hat ===> Ansonsten schließe ich mich ermanus an ...  |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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