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Rotation und Wegintegral Vektorfeld

Universität / Fachhochschule

Tags: Rotation. rot, Schwerefeld, Vektoranalysis, Vektorfeld, Wegintegral

derwurm aktiv_icon

20:13 Uhr, 06.12.2015

Liebe Online-Mathematiker,

Ich habe folgende Aufgabe:
Ein Teilchen befinde sich im Schwerefeld der Erde

\vec{F} (\vec{r}) = - k \frac{\hat{r}}{r^{2}}, \hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}, r = ∣ \vec{r} ∣

1. Berechnen Sie rot

\vec{F}

2. Berechnen Sie explizit das Wegintegral von

\vec{r_{1}}

nach

\vec{r_{2}}

\int_{C} \vec{F} (\vec{r}) d \vec{r}

für den Weg radial entlang der Feldlinie von

\vec{r_{1}}

bis

\vec{r_{2}} \cdot \hat{r_{1}}

und dann entlang eines Kreisbogens bis

\vec{r_{2}}

.

Wie man rot eines Vektorfeldes bestimmt und ein Wegintegral eines vorgegebenen Weges berechnet, weiß ich. Ich musste dies bisher aber nur bei Feldern in der Form

\vec{F} = (x, y, z)

tun. Nun bin ich etwas ratlos, wie ich hieraus die Rotation berechnen kann. Dasselbe irritiert mich auch bei 2. Mir wäre mit Tipps dazu sehr geholfen, wie man das evtl. umformen muss oder auch ohne Umformen weiterrechnen kann (sowohl 1. als auch 2.).

Vielen Dank schonmal für die Hilfe. Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

derwurm aktiv_icon

08:50 Uhr, 07.12.2015

Wäre für Hilfe echt dankbar, es geht irgendwie garnicht weiter für mich bei dieser Aufgabe...

derwurm aktiv_icon

10:59 Uhr, 07.12.2015

Hat hier echt keiner ne Idee? :(

ledum aktiv_icon

13:30 Uhr, 07.12.2015

Hallo
was meinst du mit Feldern der Form

F = (x, y, z)

es ist doch

\vec{r} = {(x, y, z)}^{T}

und

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

?
sonst formulier deine Frage doch genauer
Gruß ledum

derwurm aktiv_icon

13:37 Uhr, 07.12.2015

Ich glaube, ich habe mittlerweile verstanden. Wenn ich das Ganze umforme habe ich ja

- k \frac{\vec{r}}{r^{3}}

, somit

F (\vec{r}) = (- k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}, - k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}, - k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}})^{T}

, wäre das so richtig? Meine Verwirrung war nur, dass ich ja x, y und z brauchen, um rot zu bestimmen. Mir war nicht ganz klar, ob man das einfach so umformen kann, wie ich jetzt hier (sieht ja nicht ganz so schick aus) ;-)

derwurm aktiv_icon

13:37 Uhr, 07.12.2015

Ich glaube, ich habe mittlerweile verstanden. Wenn ich das Ganze umforme habe ich ja

- k \frac{\vec{r}}{r^{3}}

, somit

F (\vec{r}) = (- k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}, - k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}, - k \frac{x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}})^{T}

derwurm aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.12.2015

Ups, kleine Verwirrung. Ich glaube

r^{2} = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}

, da

r = ∣ \vec{r} ∣

. Dann müsste es ja entsprechend

- k \frac{x}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3}}

für die x-Koordinate usw. sein?

derwurm aktiv_icon

13:52 Uhr, 07.12.2015

Als Endergebnis habe ich

(0, 0, 0)^{T}

. Scheint mir plausibel.

derwurm aktiv_icon

14:19 Uhr, 07.12.2015

Nun habe ich überall die Wurzeln vergessen. Aber es ist ja klar, was ich meine.

DerDepp aktiv_icon

16:16 Uhr, 07.12.2015

Hossa :-)

Mist, ich hatte gehofft, jemand anders beantwortet die Frage und ich komme um die viele Schreibarbeit herum. Die Gravitationskraft ist als Gradient eines Potentials darstellbar. Die Rotation von Gradientenfeldern ist null. Wenn man in der Aufgabe die Rotation explizit ausrechnen soll, ist das einfach nur viel Aufschreiberei mit im Vorfeld klarem Ergebnis...

\vec{F} (\vec{r}) = - k \frac{{\vec{r}}^{0}}{r^{2}} = - k \frac{\vec{r}}{r^{3}} = - \frac{k}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3 / 2}} (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = - k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

Die benötigten partiellen Ableitungen sind:

\frac{\partial F_{z}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot z) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot z \cdot 2 y = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot y z

\frac{\partial F_{y}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot y) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot y \cdot 2 z = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot y z

\frac{\partial F_{x}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot x) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x \cdot 2 z = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x z

\frac{\partial F_{z}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot z) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot z \cdot 2 x = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x z

\frac{\partial F_{y}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot y) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot y \cdot 2 x = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x y

\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (- k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot x) = \frac{3}{2} k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x \cdot 2 y = 3 k {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2} \cdot x y

Zusammengebaut zur Rotation:

rot \vec{F} = (\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}) \times (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = \vec{0}

Für Aufgabe 2 fehlt mir die Information, was ihr in der Vorlesung bisher hattet. Ich würde das wie folgt aufschreiben:

\vec{F} (\vec{r}) = - k \frac{\vec{r}}{r^{3}} = - grad (\frac{k}{r}) = \frac{\partial}{\partial \vec{r}} (- \frac{k}{r}) \Rightarrow \int_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} (- k \frac{\vec{r}}{r^{3}}) d \vec{r} = \int_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} \frac{\partial}{\partial \vec{r}} (- \frac{k}{r}) d \vec{r} = {[- \frac{k}{r}]}_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} = \frac{k}{r_{1}} - \frac{k}{r_{2}}

Weil das Kraftfeld als Gradientenfeld darstellbar ist, ist das Wegintegral unabhängig vom Weg zwischen

{\vec{r}}_{1}

und

{\vec{r}}_{2}

. Lediglich der Abstand

r

geht in das Ergebnis ein.

derwurm aktiv_icon

16:40 Uhr, 09.11.2016

Hiho,
es ist zwar ein Weilchen her, dass ich diese Frage gestellt habe, aber ich wollte mich nochma nachträglich für deine sehr hilfreiche Antwort und die Mühe die du dir damit gemacht hast bedanken. Hatte vergessen eine Rückmeldung zu geben nachdem ich deine Antwort gesehen habe, Sorry dafür.

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