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Rotationsaufgabe Formelproblem

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fahrrad, Rotation, Tangent, wassertropfen, zentrifugalkraft, Zentripetalkraft

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00:28 Uhr, 09.11.2010

Kann mir bitte jemand bei der unten als Bild folgenden Aufgabe helfen?
Ich weiß nicht mit welcher Formel ich hantieren muss, und kann mir nicht vorstellen wie ich vorgehen muss.
Bitte um Antwort.
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

01:14 Uhr, 09.11.2010

Vielleicht weniger stur Formel her und Zahlen einsetzen, als erstmal überlegen ...

Welche Geschwindigkeit ist gegeben und in welcher Richtung ?

Wie schnell kann denn der Wassertropfen auf dem Reifen werden?

Wie gross ist dann seine kinetische Energie?

Ändert sich diese mit dem Ablösewinkel oder bleibt sie immer gleich?

Wie teilt sie sich in horizontal- und vertikal teil auf?

...

matheschlappe aktiv_icon

23:34 Uhr, 09.11.2010

Welche Geschwindigkeit ist gegeben und in welcher Richtung ?

20km/h also

72 \frac{m}{s}

nach vorne entlang der Horizontalen, aber eig ja auch in einer Kreisbewegung um 65cm.

Wie schnell kann denn der Wassertropfen auf dem Reifen werden?

Der Reifen hat einen Umfang von 204,203cm und dreht sich bei der Geschwindigkeit 35,258mal/s oder?
Keine ahnung wie schnell der Wassertropfen dann werden kann

\frac{=}{}

Wie gross ist dann seine kinetische Energie?

Komm ich noch weniger drauf, sorry.

Ändert sich diese mit dem Ablösewinkel oder bleibt sie immer gleich?

Die Energie bleibt nicht gleich, da sie ja einmal mit der Erdanziehungskraft und einmal gegen die Erdanziehungskraft arbeiten muss.

Wie teilt sie sich in horizontal- und vertikal teil auf?

Ich weiß nicht mit welchem Quotient sie sich aufteilt. Jedoch müssten doch eig 90° zur Horizontalen am besten sein als Ablösewinkel, da der Tropfen dann am höchsten geschleudert werden sollte oder nicht?

MfG Julian

PS: Ich muss diese Aufgabe als GFS lösen bis zum Ende der Woche und würde mich sehr über Hilfe freuen.

DmitriJakov aktiv_icon

23:41 Uhr, 09.11.2010

Die Tropfen können und werden sich zu jeder Zeit an jeder Stelle des Rades lösen, es spritzt also rund herum (deswegen hat man ja das Schutzblech ;-))

Die Frage ist jetzt: An welcher Stelle wird die Geschwindikeitskomponente in der Senkrechten maximal? Und die zweite Frage ist: Wie schnell dreht sich der Reifen an dieser Stelle in Richtung der Senkrechten.

DmitriJakov aktiv_icon

23:49 Uhr, 09.11.2010

PS:

20

km/h sind übrigens nicht

72 \frac{m}{s}! 72 \frac{m}{s}

fährt ein Porsche auf der Autobahn ;-)

pleindespoir aktiv_icon

12:37 Uhr, 10.11.2010

Wie gross ist dann seine kinetische Energie?

W_{k i n} = ½ \cdot m \cdot v^{2}

... und gleich noch die potentielle Energie:

W_{p o t} = g \cdot m \cdot h

ist es schon so kalt bei Dir, dass Du Deine Formelsammlung verbrennen musstest?

matheschlappe aktiv_icon

13:13 Uhr, 10.11.2010

Danke für die Formeln.
Ich hatte das noch nie weil ich kein Physik mehr hab.
Muss die Aufgabe ja in Mathe lösen.
Wie schnell ist er dann?

5,55 \frac{m}{s}

oder wie?
In welcher Einheit muss ich denn die Geschwindigkeit in die Formel der Energie eintragen oder ist das egal?
MfG

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13:29 Uhr, 10.11.2010

Sinnvoll ist die Einheiten in SI-Standards zu verwenden.
Deine Umrechnung ist übrigens richtig.

Ich denke mal, dass der grösste vertikale Anteil der gefahrenen Geschwindigkeit entspricht. Die Umlaufgeschwindigkeit des Reifens ist ja üblicherweise bei kontinuierlicher Fahrt gleich der Fortbewegungsgeschwindigkeit. Kannst ja mal in den Keller gehen und nach dem Fahrrad gucken, ob's wirklich so ist.

Die Fortbewegung überlagert sich zwar mit der Umlaufgeschwindigkeit, aber da diese horizontal ist, dürfte das die vertikale Komponente nicht beeinflussen.

Um also nicht zu tief in die physikalischen Überlegungen zu versinken, setzt du jetzt einfach die Zahlen in die Formeln, die du da oben hast, ein.

matheschlappe aktiv_icon

15:06 Uhr, 10.11.2010

Hm okay, um die Kinetische Energie auszurechnen nehm ich mal an der Wassertropfen wiegt

0,05 g

laut wiki.
Wkin=

0,025 \cdot {5,55}^{2} =

0,7700625joule

Wpot=

9,81 \cdot 0,05 \cdot 32,5 = 15,94125

(ich weiß nicht in welcher einheit)

Angenommen der Tropfen löst sich auf Höhe der Horizontalen. Aber er kann sich ja überall lösen.
Aber ich weiß nicht wie ich von da jetzt auf die Lösung kommen soll..

MfG

pleindespoir aktiv_icon

18:02 Uhr, 10.11.2010

W_{k i n} = W_{p o t}

½ \cdot m \cdot v^{2} = g \cdot m \cdot h

Das gilt zunächst mal für den einfachen Fall, dass der Tropfen in Achshöhe senkrecht nach oben abgelöst hochfliegt. Andere Winkel betrachten wir besser noch nicht, sonst wirds zu wirr.

Jetzt musst Du diese Gleichsetzung "nur noch" nach h auflösen, schon hast du die Höhe (plus Achsenhöhe).

Wenn Du die Einheiten in den Berechnungen immer "mitziehst", kommt am Schluss auch die richtige Einheit raus. Wenn nicht, sieht man gleich, dass was nicht stimmt.

Die Masse des Tropfens spielt übrigens keine Rolle - die kürzt sich raus.

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23:40 Uhr, 10.11.2010

(0,5*0,05g*5,55²m/s)/9,81m/s*0,05g=h

0,05 g

und die

\frac{m}{s}

kürzen sich raus.

(0,5*5,55²)/9,81=1,569954128

Jetzt hab ich ja wieder keine Einheit.

Und falls das cm sein sollten kann das doch nicht sein oder? wären ja nur 34,06995413cm also nichtmal höher als der reifen ist.

Da stimmt was nicht oder? Ich meine es kommt ja nicht die richtige Einheit raus also kann was nicht stimmen.

Finde den fehler nicht.

DmitriJakov aktiv_icon

00:17 Uhr, 11.11.2010

Bist Du Dir sicher, daß der Tropfen mit

5,55 \frac{m}{s}

in die Luft geschleudert wird?

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00:25 Uhr, 11.11.2010

Naja so schnell bewegt sich eben das Fahrrad vorwärts.
Und somit dreht sich doch der Reifen genauso schnell oder?

DmitriJakov aktiv_icon

00:28 Uhr, 11.11.2010

Stell Dir mal ein Riesenrad vor, das mit

20

km/h durch die Gegend rollt und dann ein Rad eines Spielzeugautos, das mit der selben Geschwindigkeit fährt.

Ich habe irgendwie das Gefühl, daß sich die Geschwindigkeiten eines Punktes auf den beiden Rädern unterscheidet.

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00:43 Uhr, 11.11.2010

Okey, echt gut veranschaulicht.
Ich versteh wie du meinst.
Aber wie kann ich das in der Rechnung berücksichtigen?

DmitriJakov aktiv_icon

00:59 Uhr, 11.11.2010

Sorry, ich ziehe es zurück. Aber bei Rotationen kommt man leicht ins Schleudern.

Bei Deiner Rechnung warst Du fast fertig, hast Dich aber bei den Einheiten vergalloppiert:

\frac{0,5 \cdot 0,05 g \cdot {5,55}^{2} \frac{m}{s}}{9,81 \frac{m}{s}} \cdot 0,05 g = h \cdot 0,05

richtig heißt es aber:

\frac{0,5 \cdot 0,05 g \cdot {5,55}^{2} \frac{m^{2}}{s^{2}}}{9,81 \frac{m}{s^{2}}} = h \cdot 0,05 g

Das entspricht

\frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{g} = h \cdot m

Die Masse kürzt sich raus und es bleibt als Einheit Meter übrig.

DmitriJakov aktiv_icon

00:59 Uhr, 11.11.2010

Doppelpost. Hier hatte das board anscheinend gerade für ein paar Minuten Probleme.

matheschlappe aktiv_icon

13:29 Uhr, 11.11.2010

ah okay.. also beträgt die Höhe die der Tropfen erreicht wenn er am SP von Rad und Horizontalen senkrecht nach oben geschledert wird ca.

1,9 m

.
aber wie kann ich nun die höhe ausrechnen wenn der Tropfen den Reifen woanderst verlässt?
MfG

DmitriJakov aktiv_icon

13:46 Uhr, 11.11.2010

Unterhalb der Ebene der Nabe ist sowohl die Höhe über Grund als auch die vertikale Geschwindigkeitskomponente geringer als genau auf Höhe der Nabe. In diesem linken unteren Viertel wird es also nicht zu höheren Spritzern führen.

Anders kann es im linken oberen Viertel aussehen. Die vertikale Geschwindigkeit nimmt zwar ab, jedoch nimmt die Abwurfhöhe zu. Ich würde hier einen Ansatz mit sinus und cosinus in Erwägung ziehen.

pleindespoir aktiv_icon

23:18 Uhr, 11.11.2010

Anstelle gleich Zahlen einzusezten - auch noch fiktive wie z.B. Tropfengewicht - stellt man zuerst mal die Gleichung so um, dass es einfacher wird:

½ \cdot m \cdot v^{2} = g \cdot m \cdot h

Masse rauskürzen und sich nicht was ausdenken

½ \cdot v^{2} = g \cdot h

h isolieren

\frac{v^{2}}{2 g} = h

jetzt Werte einsetzen:

\frac{(5, 55 \frac{m}{s})^{2}}{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}}} = h

\frac{30, 8 \frac{m^{2}}{s^{2}}}{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}}} = h

1, 57 m = h

Dank des korrekten Mitführens der Einheiten haben wir nun auch gleich die richtige Einheit in der richtigen Grössenordnung als kostenlose Zugabe.

So, jetzt die alles entscheidende Frage:

Willst du das jetzt auch für jeden Winkel wissen?

Dan müsste man zunächst noch dran denken, dass der Tropfen nicht vom Boden hochspringt, sondern von der Achshöhe. Das ist jetzt auch schon wichtig, um das richtige Ergebis zu bekommen - was wir jetzt haben, ist nämlich erst ein Zwischenergebnis.

matheschlappe aktiv_icon

01:24 Uhr, 12.11.2010

Danke.

h + r = H

1,57 m + 0,325 m = 1,895 m

Jetzt kann ich mir ja noch nicht sicher sein ob das der Maximalwert ist.
Also habe ich mal mit

cos sin

und tan experimentiert:

Die Gesamtgeschwindigkeit

V 0

setzt sich ja aus der Senkrechten Geschw. Vs und der Horizontalen Geschw. Vh zusammen. Dabei entsteht ein Dreieck mit rechtem Winkel und von Vs und

V 0

eingeschlossenem Winkel

α

. Also ist Vs=V0*cos

α

.

Das setz ich nun in die Gleichung ein:

\frac{1}{2} \cdot

V0² cos²

α = g \cdot h

\frac{\frac{1}{2} \cdot V 0^{2} {cos}^{2} α}{g} = h

Das ganze dann noch

+

den Sockel

H = \frac{\frac{1}{2} \cdot V 0^{2} {cos}^{2} α}{g} + r \cdot tan α

Und dann noch die erste Ableitung um den Maximal- und Minimalwert zu ermitteln.

H' = \frac{1 \cdot (V 0 cos α) \cdot (V 0 \cdot (- sin α))}{g} + r \cdot \frac{1}{{cos}^{2} α}

gleich 0 setzen und vereinfachen

0 = (1 \cdot (V 0 cos α) \cdot (V 0 \cdot (- sin α))) \cdot {cos}^{2} α + r \cdot g

weiter vereinfacht

0 = {(V 0)}^{2} \cdot {cos}^{3} α \cdot sin α + r \cdot g

(FRAGE: - oder

+

r*g?)

stimmt das soweit?

aus dem GTR hab ich dann als schnittpunkte mit der x-Achse (-)6,0415° und 119,4514° rausbekommen.
und dafür

h =

6,0415° entspricht

1,553 m

und 119,4514° entspricht

0,3805 m

.

Dann der Sockel berechnet mit

S = r \cdot tan α

0,325 m \cdot tan 6,0415 = 0,0344 m

0,325 m \cdot tan 119,4514 = - 0,5765 m

(FRAGE: muss ich hier nochmal die

0,325 m

vom Radius addieren?)

H

wäre dann

H 1 = 1,553 m + 0,0344 m = 1,5874 m

H 2 = 0,3805 m + (- 0,5765 m) = - 0,196 m

pleindespoir aktiv_icon

19:09 Uhr, 12.11.2010

"Jetzt kann ich mir ja noch nicht sicher sein ob das der Maximalwert ist."

Doch, glaube mir - es ist der Maximalwert.

Die Geschwindigkeit des Tropfens ist einzig auf die vertikale Komponente beschränkt, denn der Tropfen in Achshöhe senkrecht nach oben fliegt.

Deine weitere Ausführung ist daher kaum nachvollziehbar und etwas sinnfrei.

matheschlappe aktiv_icon

01:43 Uhr, 13.11.2010

Aber es kann doch sein, dass der Tropfen, höher steigt wenn er von einem höheren Punkt startet und eben eine etwas flachere kurve beschreibt?
Er hat ja dadurch auch mehr Epot

pleindespoir aktiv_icon

01:55 Uhr, 13.11.2010

Der vertikale Geschwindigkeitsanteil folgt

v_{v} = v_{u} \cdot \cos (α)

die zusätzliche Höhe des Tropfens über der Achse

h_{α} = r \cdot s i n (α)

Eingesetzt in unsere obige Formel:

h_{g e s} = r + r \cdot s i n (α) + \frac{(v \cdot \cos (α))^{2}}{2 g}

h_{g e s} = r + r \cdot s i n (α) + \frac{v^{2}}{2 g} \cdot \cos^{2} (α)

h ʹ (α) = r \cdot c o s (α) - \frac{v^{2}}{g} \cdot \cos (α) \cdot s i n (α)

h ʹ (α) = 0

0 = r \cdot c o s (α) - \frac{v^{2}}{g} \cdot \cos (α) \cdot s i n (α)

0 = (r - \frac{v^{2}}{g} \cdot s i n (α)) \cdot c o s (α)

Eine Extremstelle hätten wir dan schon mal:

0 = c o s (α)

das wäre bei 90° der Fall - allerding ist das das Minimum ...
die andere also noch:

0 = r - \frac{v^{2}}{g} \cdot s i n (α)

\frac{v^{2}}{g} \cdot s i n (α) = r

s i n (α) = r \cdot \frac{g}{v^{2}}

α = a r c s i n (\frac{r \cdot g}{v^{2}})

α = a r c s i n (\frac{0, 325 m \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}}}{(5, 55 \frac{m}{s})^{2}})

α = a r c s i n (0, 1035)

α = 5, 94 °

Da wäre die Tropfhöhe maximal.

matheschlappe aktiv_icon

02:18 Uhr, 13.11.2010

Okay, also bei 5,94° in der ursprünglichen Formel eingesetzt, bekomme ich nun

1,912 m

als Maximalwert.
Das kann ja hinkommen und ist immernoch mehr als wenn der Tropfen "nur" senkrecht nach oben geschleudert wird.
Der eingeschlossene Winkel an der Achse beträgt also 5,94°.
Wie kann ich das mit cosinus, sinus und tangens meinem lehrer am besten anschaulich darstellen?
Vielen dank schonmal, MfG

pleindespoir aktiv_icon

02:31 Uhr, 13.11.2010

Am besten mit einer Zeichnung ...

Tipp:
Lass das Rad gegen den Uhrzeigersinn drehen, dann stimmen auch die Winkelargumente.

Wichtig ist, dass der Vektor, der die "Abtropfgeschwindigkeit" darstellt, in seine horizontale und vertikale Richtung zerlegt wird.

sin und cos ergeben sich aus Gegenkathethe bzw. Ankathete.

Die zusätzliche Höhe folgt dem Sinus - der vertikale Geschwindigkeitsanteil dem Cosinus. Da die Geschwindigkeit im Quadrat eingeht, ist das Maximum nicht weit vom Nullwinkel - der Vertikalgeschwindigkeitsanteil nimmt schnell ab.

matheschlappe aktiv_icon

19:21 Uhr, 13.11.2010

Wie kann ich die Höhe

h α = r \cdot sin α

in das rad einzeichnen?
Wenn ich das dreieck so einzeichne, dass es an der oberen ecke den "wassertropfen" also die untere ecke des Geschwindigkeitsdreieckes berührt ist

r

ja nicht komplett.. aber wenn ich

r

als ankathete mit der länge des kompletten radiuses zeichne steht das dreieck ja oben über den reifen hinaus?

DmitriJakov aktiv_icon

19:23 Uhr, 13.11.2010

r

ist die Hypotenuse

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19:36 Uhr, 13.11.2010

Aber dann kann das dreieck doch nicht an der Achse, also dem Kreismittelpunkt "anfangen"?
Wenn da oben ein rechter winkel sein soll passt das in meiner zeichnung nicht..

DmitriJakov aktiv_icon

19:47 Uhr, 13.11.2010

Der Winkel zur Horizontale ist

5,96

Grad (Habe es jetzt nicht nachgerechnet, ich übernehme das jetzt einfach mal von Dir). Das heißt, daß das Koordinatensystem seinen Ursprung in der Nabe hat und der Einheitskreis ist der Reifen.
Der Winkel ist nach links offen, seine Spitze ist im Ursprung. Der Sinus ist in dieser Zeichnung der senkrechte Teil, der die y-Achse mit dem Einheitskreis verbindet.
Der rechte Winkel ist somit links unten,

α

ist rechts unten (an der Nabe), Der Rekord-Tropfen am Reifen links oben. Der rechte Winkel liegt somit ein ganz kleines Stückchen innerhalb des Reifenkreises.

Wenn Du immer noch verwirrt bist, dann muß ich versuchen hier mal eine Zeichnung zu erstellen (hab das hier noch nie gemacht, das könnte dann also dauern)

matheschlappe aktiv_icon

20:27 Uhr, 13.11.2010

Okay verstehe, so hab ichs auch angenommmen, aber mein problem ist dann, dass

r

nicht komplett ist in der zeichnung, da wie du ja schon gesagt hast, der rechte winkel ein kleines stückchen innerhalb des kreise liegt.
oke falsch. verdammt..

r

ist die gerade die mit 5,6..° nach oben geht, und auf der horizontalen ist eben die ankathete oder was das dann ist...

DmitriJakov aktiv_icon

20:31 Uhr, 13.11.2010

Ganz genau, das ist dann die Ankathete.

DmitriJakov aktiv_icon

20:36 Uhr, 13.11.2010

Habe übrigens Deine Aufgabe in einem Forum für Astronomie und Astrophysik als Rätsel fürs Wochenende gepostet. Dort tummeln sich gestandene Physiker und Leiter von Sternwarten. Bis jetzt hat sich noch keiner an das Rätsel rangetraut ;-)

matheschlappe aktiv_icon

20:40 Uhr, 13.11.2010

Oh wow okay.. Dann kann ich mich ja schonmal gut fühlen so weit wie wir bisher gekommen sind ;-)..
Kannst mir ja den link evtl. mal schicken dann würd ich das auch noch ganz gerne verfolgen.
Wie kann ich denn die Ankathete noch nenen außer einfach ankathete? Die hat keine weitere bedeutung eigentlich oder?

DmitriJakov aktiv_icon

20:47 Uhr, 13.11.2010

Die Ankathete ist die Kathete, die sich an den Winkel anschmiegt. Einen anderen Ausdruck dafür kenn ich jetzt nicht, aber er ist so wie er ist ziemlich anschaulich.

Einen Link zum Astro-Thema schick ich Dir per PM.

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22:10 Uhr, 13.11.2010

Also denkst du die Zeichnung ist soweit in ordnung?
Edit: Drehrichtung umgedreht damit das mit den Winkeln einfacher wird.

DmitriJakov aktiv_icon

22:46 Uhr, 13.11.2010

So würde ich sie sehen, ja.

Übrigens: Folgende Verschärfung der Aufgabe werde ich im Astronomieforum den Herrschaften stellen:
1. Der Sattel des Rades befindet sich

40

cm vor und

35

cm über der Nabe des Rades. Der Rücken des Fahrers beschreibt eine Kurve über dem Sattel die etwa der der Funktion $y

= 25 \cdot \sqrt{x}

entspricht (Ursprung: Ende der Sattelstange). Ab welcher Geschwindigkeit ist die Sauberkeit seines Trikots gefährdet.
2. Welchen Winkel gegenüber der Ebene muß ein Schutzblech dann mindestens abddecken, daß das Trikot sauber bleibt.

:-)

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