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Rotationsflächen: Parametrisierung der Mantelfläch

Universität / Fachhochschule

Tags: Mantelfläche, Parametrisierte Kurve, Rotationskörper

Nic27 aktiv_icon

12:03 Uhr, 14.11.2023

Aufgabe:

Geben Sie jeweils eine Parametrisierung der Mantelfläche des Rotationskörpers um die x3-Achse an und berechnen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche.

Ich hänge leider an der Aufgabe, und hab keine Ahnung wie ich sie lösen soll. Eventuell hat hier jemand eine Idee

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Respon

12:38 Uhr, 14.11.2023

Elementargeometrisch läßt sich der Flächeninhalt der Mantelfläche leicht bestimmen.
Es handelt sich um einen Torus. Die erzeugende Kreislinie hat den Radius

2,

der Abstand des Mittekpunktes vom Rotationszentrum ( Koordinatenursprung ) beträgt 4.

\Rightarrow

Oberfläche = Umfang des Kreises mal Weg des Schwerpunktes

O = 2 \cdot r \cdot π \cdot 2 \cdot R \cdot π = 2 \cdot 2 \cdot π \cdot 2 \cdot 4 \cdot π = 32 \cdot π^{2}

Bezüglich Parametrisierung bin ich allerdings überfragt.

Roman-22

15:04 Uhr, 14.11.2023

Zur Parametrisierung der Fläche bietet sich doch wie bei Rotationsflächen üblich der Drehwinkel

u

gegenüber der

x_{1}

Achse an.

Also

Φ (u, t) := (\begin{matrix} (4 + 2 cos t) \cdot cos u \\ (4 + 2 cos t) \cdot sin u \\ 2 sin t \end{matrix})

mit

(u; t) \in [0; 2 π) \times [0; 2 π)

Und jetzt das Oberflächenintegral

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} | | \frac{\partial Φ (u, t)}{\partial u} \times \frac{\partial Φ (u, t)}{\partial t} | | d u d t = (⋆)

welches sich nach ein wenig Herumrechnens vereinfachen lässt (ja, das

u

fällt raus) zu

(⋆) ... = 4 \cdot \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} (cos t + 2) d u d t = 8 π \cdot \int_{0}^{2 π} (cos t + 2) d t = 32 π^{2}

Nic27 aktiv_icon

20:31 Uhr, 14.11.2023

Danke. Das ich um die

x 1

Achse parametrisiere sollte ja egal sein (Frage weil extra

x 3

in der Aufgabe erwähnt wurde)

Roman-22

21:07 Uhr, 14.11.2023

Mein Ansatz beschreibt doch die Rotation um die

x_{3} -

Achse (weswegen ja auch

x_{3} (u, t) = 2 sin t

unverändert bleibt.
Wie ich schrieb bedeutet

u

den Winkel um den der Kreis um die

x_{3}

verdreht wird, gemessen von der

x_{1}

Achse weg (oder besser gesagt von der Kreuzrissebene, der

x_{1} x_{3}

Ebene).

Für

u = 0

erhältst du somit genau dem gegebenen Profilkreis.

Im Bild ist dieser Kreis für

u = 0

in rot eingezeichnet. In grün als Beispiel der Kreis für

u = \frac{π}{3}

Randolph Esser aktiv_icon

23:14 Uhr, 14.11.2023

Die Parametrisierung ist keine Hexerei.
Multipliziere mit der

Z

-Drehmatrix und Du hast es:

(\begin{matrix} cos (u) & - sin (u) & 0 \\ sin (u) & cos (u) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 + 2 cos (t) \\ 0 \\ 2 sin (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos (u) (4 + 2 cos (t)) \\ sin (u) (4 + 2 cos (t)) \\ 2 sin (t) \end{matrix})

für alle

u, t \in [0, 2 π [

Mathe45

23:25 Uhr, 14.11.2023

Ja, schon klar

-

in der Aufgabenstellung wird die Parametrisierung verlangt. Aber für die Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche ist sie doch vollkommen unnötig. Oder übersehe ich da irgendwelche Vorteile ?

Roman-22

07:02 Uhr, 15.11.2023

>

Aber für die Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche ist sie doch vollkommen unnötig.
Wie so oft führen verschiedene Wege zum Ziel.
Die Angabe der Erzeugendenkurve in Parameterdarstellung und die Forderung, eine Parameterdarstellung für die Rotationsfläche anzugeben, legen aber den Weg über das Oberflächenintegral 1. Art nahe.

Klar kann man die Fläche auch anders bestimmen, zB "klassisch" über

2 \cdot π \cdot \int_{0}^{2} ({(4 + \sqrt{4 - x_{3}})}^{2} - {(4 - \sqrt{4 - x_{3}})}^{2}) d x_{3} = 32 \cdot π \cdot \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x_{3}^{2}} d x_{3} = 32 π^{2}

berechnen oder auch einfach so wie von Respon angegeben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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