Rotationskörper Kegelstumpf

Hallo,

ich soll das Volumen eines Kreiskegelstumpfes mittels Integration herleiten.

Grundkreisradius ist A, Höhe ist h, und Deckkreisradius a, a<A

Im Prinzp rotiert da ja eine Funktion like y=mx+n um die x-Achse.

Diese Funktion muss dann ja ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das habe ich nun in die Formel für Rotionskörper eingesetzt:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\int }_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wenn ich jetzt alles integriere habe ich als Ergebnis ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1/3\mathrm{A²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

was nicht ganz die Formel aus dem Tafelwerk ist. Ich glaube nicht dass mein Fehler im integrieren liegt, sondern an der Funktion.

Kann mir jemand helfen was die richtige Funktion ist?

Oh, ich bin dagegen :D

Ich lasse doch immer um die x-Achse rotieren, warum machst Du das plötzlich um die y-Achse? Warum soll hier nicht die x-Achse gehen? Wäre doch viel leichter.

Dann hab ich mal deine Geradengleichung quadriert und integriert und irgendwo abgebrochen weil ich doch nie auf das Endergebnis kommen kann. Und hab dann probeweise das ganze Integral den Taschenrechner berechnen lassen und der bringt ein völlig anderes Ergebnis als wenn ich die Werte in die Volumenformel einsetze...

Bist du wirklich sicher?

Edit:

Ha, ich hab meinen Fehler gerade gefunden:

y=(A-a)/h*x+a

Jetzt funktioniert das einwandfrei :-) Ich habe nur beim Anstiegsdreieck geschusselt, mehrmals.

Meckmeck, dein Ergebnis kann ich leider trotzdem nicht nachvollziehen :(