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Rotationskörper (von Vektorfunktionen)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Rotationskörper

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14:56 Uhr, 02.03.2011

Ich hätte zwei Beispiele zur geometrischen Anwendung des Integrals:

1. Gegeben sei die Viertel-Hyperbel x(t) = (a.cosh(t), b.sinh(t)), t € [0, 1], die um die y-Achse rotiert.
a) Leiten Sie die Formel für das Volumen des Rotationskörpers her und berechnen Sie dieses.
b) Leiten Sie die Formel für das Trägheitsmoment des dazugehörigen Vollkörpers mit konstanter Dichte $ρ$ her und berechnen Sie dieses mit Mathematica.

2. Lässt man den Graphen der Funktion f(x) = 1/x, x >= 1, um die x-Achse rotieren, so erhält man ein unendlich langes Horn. Berechnen Sie Volumen und Oberfläche. Man könnte das Horn also zwar mit Farbe füllen, wäre aber nicht in der Lage, seine Oberfläche anzustreichen. Das klingt widersprüchlich, klären Sie die Paradoxie.
Hinweis: Schätzen Sie das Oberflächenintegral durch ein einfacheres Integral ab.

Meine Fragen dazu:

Wie bringe ich eine Vektorfunktion in eine Form, so dass ich die Rotationsformel anwenden kann? bzw. Gibt es eine eigene Formel für die Rotation von Vektoren?

Bei Bsp. 2 kann ich zwar sowohl Volumen, als auch Oberfläche berechnen, leider weiß ich aber nicht, wie ich das Oberflächenintegral abschätzen kann, sodass kein $\infty$ darin vorkommt.

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

OmegaPirat

15:00 Uhr, 04.03.2011

Hallo
Für die Rotation um die y-Achse gilt bekanntlich

V = 2 \cdot π \cdot \int_{a}^{b} \cdot f (x) d x

Nun hast du die Funktion aber nicht in der Form

f (x),

sondern in parametrisierter Form vorliegen.
Es gilt

x = x (t)

und

y = y (t)

und damit

f (x) = f (x (t)) = y (t)

Es gilt bekanntlich

d x = \frac{d x}{d t} \cdot d t

\Rightarrow

V = 2 \cdot π \cdot \int_{a}^{b} \cdot y (t) \cdot \frac{d x (t)}{d t} \cdot d t

in deinem Fall gilt:

x (t) = a \cdot cosh (t)

und

y (t) = b \cdot sinh (t)

Damit hast du alles beisammen, was du zum Lösen der Aufgabe brauchst.

zu2:
Man erhält für die Oberfläche folgendes Integral

O = 2 \cdot π \cdot \int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} d x)

Das Hauptproblem besteht jetzt im Lösen dieses Integrals

\int (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}) d x

Dieses Integral ist elementar integrierbar.
Ich forme das mal wie folgt um

\int (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}) d x = \int (\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{x^{3}}) d x

Jetzt substituiere ich

u = x^{2}

\Rightarrow \int (\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{x^{3}}) d x = \frac{1}{2} \cdot \int (\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u^{2}}) d u

Hier führe ich eine partielle Integration mit

v = \sqrt{1 + u^{2}}, v' = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}

und

w' = \frac{1}{u^{2}}

w = - \frac{1}{u}

durch

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \int (\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u^{2}}) d u = \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u} + \int (\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}) d u)

Das übrig gebliebene Integral ist ein Standardintegral. Es gilt:

\int (\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}) d u = a r s i n h (u) + C

Dabei ist

a r s i n h

der areasinushyperbolikus.

\Rightarrow \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u} + \int (\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}) d u) = \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u} + a r s i n h (u)) + C

\Rightarrow

\int (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}) d x = \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{x^{2}} + a r s i n h (x^{2})) + C

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