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Rotationsmatrix/Perspektive/Winkelberechnung

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Tags: perspektivische Transformation, Rotation, Rotationsmatrix, Sonstig, Vektorraum

FabPip aktiv_icon

13:17 Uhr, 30.06.2016

Aloha!
Ich habe folgendes Problem bei einem Studienprojekt.
Über einen Beamer werden 4 Punkte auf einer schrägen ebenen Fläche projiziert, die in der Realität ein Reckeck ergeben.
Wenn die 4 Punkte im virtuellen Bild ein Rechteck ergeben mit dem gleichen Seitenverhältniss, wie muss das virtuelle Bild im 3D Raum verdreht werden, damit in der Realität die Punkte ein Rechteck ergeben.(Mit dem beigefügte Bild kann man sich es besser vorstellen hoffe ich)
Das sind ja folgende Gleichungen:

(\begin{array}{rcl} x_{I} \\ y_{I} \\ z_{I} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} c o s α \\ s i n α \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} - s i n α \\ c o s α \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

(\begin{array}{rcl} x_{I I} \\ y_{I I} \\ z_{I I} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} c o s β \\ 0 \\ - s i n β \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} s i n β \\ 0 \\ c o s β \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{I} \\ y_{I} \\ z_{I} \end{array})

(\begin{array}{rcl} x_{I I I} \\ y_{I I I} \\ z_{I I I} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ c o s γ \\ s i n γ \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ - s i n γ \\ c o s γ \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{I I} \\ y_{I I} \\ z_{I I} \end{array})

(\begin{array}{rcl} x_{V I} \\ y_{V I} \end{array}) = \frac{1}{1 + \frac{z_{I I I}}{Z_{B e a m e r}}} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{I I I} \\ y_{I I I} \end{array})

Z_{B e a m e r}

ist die Distanz zwischen Beamer und Ursprung von der realen Fläche(muss auch berechnet werden)
4 mal ist

(\begin{array}{rcl} x_{V I} \\ y_{V I} \end{array})

gegeben und
4 mal ist

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

gegeben wobei immer

z = 0

ist.
Wahrscheinlich ist es auch einfacher die Schnittpunkte mit den Achsen in der Realität zu nehmen... sprich 2 mal

x = 0

und 2 mal

y = 0

.
Mein Zwischenergebniss für die Projektionsgleichung ist

\frac{x_{I I I}}{x_{V I}} = \frac{y_{I I I}}{y_{V I}}

.
wenn ich die Rotationsgleichung dort einsetze mit komme ich mit

y = 0

auf

t a n α = \frac{y_{V I_{y = 0}} * c o s β}{x_{V I_{y = 0}} * c o s γ} - s i n β * t a n γ

und mit

x = 0

auf

\frac{1}{t a n α} = s i n β * t a n γ - \frac{y_{V I_{x = 0}} * c o s β}{x_{V I_{x = 0}} * c o s γ}

Sieht das bis dahin gut aus?(leichter gefragt als beantwortet)
Wie mache ich jetzt weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

00:34 Uhr, 01.07.2016

Hallo
ich kann deine Frage nicht verstehen. wird der Beamer nur als Lichtquelle benutzt oder hat der Beamer ein Rechteck

z . B

. vom computer, das er auf einen schirm projiziert, der nicht senkrecht zum Beamerstrahl steht? ein Bild wie deines kann ich mir kaum vorstellen, es müsste doch wohl ein Parallelogramm geben? Was nennst du virtuelles Bild. bitte schildere die Situation genau. auf der Leinwand sieht man offensichtlich ein Viereck , wo befindet sich nun das Rechteck?
die Form des Vierecks hat ja wohl nichts mit dem Abstand des Beamers zu tun?
gegeben hast du offensichtlich die Koordinaten auff dem Schirm, mehr verstehe ich nicht. oder heisst 4 mal ist

x, y, z

gegeben, du kennst die anfangs Ecken des Rechtecks im Raum?
Gruß ledum

FabPip aktiv_icon

11:42 Uhr, 01.07.2016

> wird der Beamer nur als Lichtquelle benutzt oder hat der Beamer ein Rechteck z.B. vom computer, das er auf einen schirm projiziert, der nicht senkrecht zum Beamerstrahl steht?
- Der Schirm steht nicht senkrecht zum Beamerstrahl.

> ein Bild wie deines kann ich mir kaum vorstellen, es müsste doch wohl ein Parallelogramm geben?
- ich habe nochmal ein Bild beigefügt.

> Was nennst du virtuelles Bild.
- Das Bild im Rechner.

> auf der Leinwand sieht man offensichtlich ein Viereck , wo befindet sich nun das Rechteck?
- Das Rechteck befindet sich auf der Leinwand. Das Viereck im virtuellen Bild.

> die Form des Vierecks hat ja wohl nichts mit dem Abstand des Beamers zu tun?
- Der Abstand hat was mit der Skallierung zu tun, wegen der Perspektive.

> gegeben hast du offensichtlich die Koordinaten auff dem Schirm, mehr verstehe ich nicht. oder heisst 4 mal ist x,y,z gegeben, du kennst die anfangs Ecken des Rechtecks im Raum?
- Die 4 Koordinate im virtuellen Bild(Pixel) und die dazugehörigen Koordinaten im reellen Raum(mm) sind bekannt.

Grüße FP

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 02.07.2016

Hallo
irgendwie hast du 2 Beschreibungen:
1. dasSchirmbild ist ein Rechteck. der Beamer ist gedreht was ist das "virtuelle" Bild im Beamer bzw Computer
2. deine Bilder jetzt:
das Bild im Beamer ist ein Rechteck, auf der Leinwand ein Viereck, wie ist der Beamer relativ zur Normalen des Bildschirms gedreht?
meine Frage:
1. wird der Beamer um ddas Projektionszentrum gedreht? nur dann kann ich mir das als Frage zur Perspektive vorstellen
2. was ist gesucht? die Drehwinkel des Beamers oder bei gegebenem Drehwinkel Bild oder Urbild.
3. was meinst du mit zentriert? was bedeutet der rote Punkt
Gruß ledum

FabPip aktiv_icon

20:05 Uhr, 02.07.2016

1. Ja der Beamer wird um das Projektionszentrum gedreht.
2. Die Drehwinkel vom Beamer sind gesucht.
3. Der rote Punkt ist ja das Projektionszentrum. Für den PC ein Offset da beim Rechnerbild eigentlich oben links der Ursprung ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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