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Rotationsvolumen einer Ellipse

Universität / Fachhochschule

21:56 Uhr, 07.06.2011

Hallo,

ich soll das Volumen des Rotationskörpers von folgender Ellipse berechnen:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Diese soll ich nun um die

x

Achse rotieren lassen.

Zunächst stelle ich die Gleichung nach

y

y = \sqrt{(1 - (\frac{x^{2}}{a^{2}})) \cdot b^{2}}

eingesetzt in die Formal für die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers:

V = π \int_{- a}^{a} {\sqrt{(1 - (\frac{x^{2}}{a^{2}})) \cdot b^{2}}}^{2}

somit kürzt sich die Wurzel weg

und es bleibt stehen:

V = π \int_{- a}^{a} ((1 - (\frac{x^{2}}{a^{2}})) \cdot b^{2})

V = π {[(\frac{b^{2}}{3 a^{2}}) x^{3} - b^{2} x]}_{- a}^{a}

Nun setze ich die Grenzen ein

(\frac{b^{2}}{3 a^{2}}) a^{3} - b^{2} a) - ((\frac{b^{2}}{3 a^{2}}) - a^{3} - b^{2} \cdot - a)

nun kann man kürzen und es bleibt übrig

(\frac{b^{2} \cdot a}{3}) - b^{2} \cdot a + (\frac{b^{2} \cdot a}{3}) - b^{2} \cdot a

aber so komm ich nicht auf das richtige Erg von

\frac{π \cdot 4 \cdot a \cdot b^{2}}{3}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

22:11 Uhr, 07.06.2011

Das ist ja fast richtig.
Wenn du das Integral berechnest kommt raus:

V = π {[b^{2} x - (\frac{b^{2}}{a^{3}}) x^{3}]}_{- a}^{a}

Du hast also nur einen Vorzeichenfehler gehabt. Anschließend setzt du die Grenzen ein und darfst das

π

nicht vergessen.
Dann bleibt übrig:

π (2 a b^{2} - \frac{a b^{2}}{3}) = \frac{4 a b^{2} π}{3}

22:21 Uhr, 07.06.2011

Super danke, hab ich nicht gemerkt

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