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Roulette Gewinnstrategie

Universität / Fachhochschule

Tags: Nettogewinn, WKT

Fingolfin aktiv_icon

19:51 Uhr, 06.05.2019

Hallo, ich habe eine neue Aufgabe über WKT und Roulette. Da ich mit einer Kommilitonin von mir gerade darüber rede und wir sind beide etwas unsicher, möchte ich Euch fragen, ob meine Vorgehensweise korrekt ist.

Aufgabe:
"Ein SPieler verfolgt beim Roulette folgende Strategie: Er setzt stets auf ROT (Rot hat WKT=18/37. Bei 0 erfolgt keine Auszahlung). Gewinnt er, so bricht er das Spiel ab. Verliert er, so verdoppelt er seinen Einsatz in der nächsten Runde. Das Kapital des Spielers beträgt 255€. Er setzt zuerst 1€ auf ROT.

a)

Geben Sie die WKT-Verteilung des Nettogewinns an.

b)

Welchen Betrag erzielt der Spieler im Mittel, wenn er sehr häufig nach dieser Strategie verfährt?"

Also bin ich so vorgegangen:

Vorgang:

1 2 3 4 5 6 7 8

Einsatz:

1 2 4 8 16 32 64 128

NettoG:

1 1 1 . .

.

Er kann bis zu 8mal spielen

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

Dann zu

a)

Das Problem ist, wie ich mit dem ersten Vorgang rechnen soll. Hier mein Weg, den ihr von der E(G)-Berechnung entnehmen könnt:

E (G) = (- 1) \cdot \frac{19}{37} + 1 \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot \frac{19}{37} \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{2} \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{3} \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{4} \cdot \frac{18}{37} +

+ 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{5} \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{6} \cdot \frac{18}{37} + 1 \cdot {(\frac{19}{37})}^{7} \cdot \frac{18}{37} \approx 0,481651

Ich habe gedacht, ich muss auch

(- 1) \cdot \frac{19}{37}

miteinbeziehen...stimmt es? Wenn nein, warum?

Wenn ich es wegnehme

(0,481651 - (- 1 \cdot \frac{19}{37}))

erhalte ich

E (G) = 0,995164

Diese Freundin von mir hat so gerechnet, was genau meinem zweiten Ergebnis entspricht:

P (G \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{18}{37})}^{0} \cdot {(\frac{19}{37})}^{8} = 1 - 0,004835 = 0,995164

Ich dachte aber, es sei eine bedingte WKT, da er weiter spielt, nur wenn er davor verliert... Außerdem mit

P (G \geq 1)

habe ich die WKT berechnet, dass er "mindestens" einmal gewinnt.

Was verstehe ich nicht? Und wieso gilt dann in diesem Fall

P (G \geq 1) = E (G)

?

Dann zu

b) :

Was soll ich hier angeben?

Ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

00:24 Uhr, 07.05.2019

Hallo
Ich vermute, die meisten Teilnehmer hier im onlinemathe-Forum, die mit Ausdrücken wie
"E(G)"
"P(G>=1)"
"P(X=0)"
um sich werfen, scheitern daran, dass sie sich selbst - geschweige denn dem Leser - verständlich machen, was sie eigentlich unter

E

G

P

X

verstehen.

Ich habe hier schon sehr oft empfohlen, nicht so viele Abkürzungen zu nutzen, von denen die Schreiber selbst nicht so recht wissen, was sie sagen wollen, sondern lieber mal eine klaren Satz mehr zu nutzen.

Also:
Ich empfehle,

a . 1)

erst mal einen Ereignisbaum auf ein Blatt Papier zu bringen.

a . 2)

Anhand dessen wirst du sehr leicht erkennen, dass du nur verlierst, wenn du 8-mal hintereinander verlierst.
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall, für den Verlust, beträgt demnach:
p_Verlust

= {(\frac{19}{37})}^{8}

a . 3)

Verlust bedeutet Totalverlust des Startkapitals:
Verlust

= 255

€
oder

i . a . W . :

Gewinn

= - 255

€

a . 4)

Dann wird man sich sehr leicht klar machen:
Alle anderen Fälle sind Gewinn-Fälle.
'Alle anderen Fälle',

d . h

. es handelt sich um das Gegenereignis.
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall, für den Gewinn, beträgt demnach:
p_Gewinn

= 1 -

p_Verlust

= 1 - {(\frac{19}{37})}^{8}

a . 5)

Gewinn bedeutet in allen Fällen effektiv ein 'Netto-' Gewinn von
Gewinn= 1 €

zu

b)

Hier müssen wir erst mal ein sprachliches Problem lösen.
"Welchen Betrag erzielt der Spieler im Mittel..."
Was ist hier unter "Betrag" zu verstehen?

b . 2)

Ich schlage vor, dass wir uns erst mal um den Erwartungswert für den Gewinn kümmern.
Ich hoffe, das ist sprachlich eindeutiger.

Es gilt:
Erwartungswert für den Gewinn nach einem Durchlauf gemäß diesem Martingal-Spiel:

E =

p_Gewinn

\cdot

Gewinn

+

p_Verlust

\cdot

'Verlust'

E = (1 - {(\frac{19}{37})}^{8}) \cdot

1€

+ {(\frac{19}{37})}^{8} \cdot (- 255

€)

E = - 0.237813

€

b . 3)

Wenn wir jetzt mal annehmen wollen, dass unter 'Betrag' in der Aufgabenstellung der Erwartungswert für das Kapital des Spielers nach einem Martingal-Spiel-Durchlauf gemeint sein könnte, dann:
Betrag = Startkapital

+

E_Gewinn = 255€

- 0.237813

€

= 254.762187

€

Fingolfin aktiv_icon

16:27 Uhr, 07.05.2019

>Hallo
>Ich vermute, die meisten Teilnehmer hier im onlinemathe-Forum, die mit Ausdrücken wie
>"E(G)"
>"P(G>=1)"
>"P(X=0)"
>um sich werfen, scheitern daran, dass sie sich selbst - geschweige denn dem Leser - >verständlich machen, was sie eigentlich unter

> E

> G

> P

> X

>verstehen

Es tut mir leid, wenn ich nicht präzise genug bin, aber ich musste alles blitzschnell lernen und habe daher noch Probleme mit solchen Sachen.

Baumdiagramm gezeichnet.

Mit

1 - {(\frac{19}{37})}^{8}

ist nun klar.

>Was ist hier unter "Betrag" zu verstehen?

Genau das war mein Problem.

>Ich schlage vor, dass wir uns erst mal um den Erwartungswert für den Gewinn kümmern.
>Ich hoffe, das ist sprachlich eindeutiger.

> [...]

>E=−0.237813 €

Ok einverstanden. Heißt es, dass der Spieler beim Weiterspielen im Durchschnitt einen wahrscheinlichen Verlust von ~~0,24€ haben wird?
Ich habe immer Schwierigkeiten, den Erwartungswert mit anderen Worten zu beschreiben.

>Betrag = Startkapital

+

E_Gewinn = 255€

- 0,237813

€

= 254,762187

€

Das verstehe ich leider nicht

: (. .

Roman-22

17:12 Uhr, 07.05.2019

Ich denke, es wäre alles leichter, wenn du Aufgabe

a)

vor Aufgabe

b)

erledigen würdest. Du hast zwar geschrieben, dass du

a)

behandelst, dann aber gleich

E (G) = ...

. angegeben, was offenbar der Erwartungswert sein sollte.
Du sollst bei

a)

nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Nettogewinns angeben. Das heißt, du sollst für jeden möglichen Ausgang des Spiels die WKT angeben.
Mach dir nun klar, dass es bei diesem Spiel nur zwei mögliche Ausgänge gibt und die Wahrscheinlichkeitsvariable

G

(=Nettogewinn) nur die beiden Werte 1 und

- 255

annehmen kann.

Die zugehörigen WKTen sind ja mittlerweile geklärt und betragen

1 - {(\frac{19}{37})}^{8}

für den Gewinn G=1€ und

{(\frac{19}{37})}^{8}

für den Netto"gewinn" G=-255€.

Der Erwartungswert jeder WKTverteilung ist nun die Summe aus den Werten die sich durch WKT mal Wert der Zufallsvariablen ergeben.
Hier also

E (G) = (1 - {(\frac{19}{37})}^{8}) \cdot 1

€

+ {(\frac{19}{37})}^{8} \cdot 255

€

\approx - 0,238

€
Du kommst mit deinem im ersten Post genannten Ansatz für

E (G)

ja auch zu diesem Ergebnis, wenn du anstelle der

(- 1)

zum Beginn den tatsächlichen Verlust

(- 255)

verwendest.

>

Ok einverstanden. Heißt es, dass der Spieler beim Weiterspielen im Durchschnitt einen wahrscheinlichen Verlust von ~~0,24€ haben wird?

Was meinst du mit "Weiterspielen"?
Es bedeutet, dass, wenn der Spieler unendlich oft mit genau

255

€ zum Roulette-Tisch geht und nach dieser Regel spielt, dass er im Schnitt mit einem Verlust von

23,8

Cent pro Serie nach Hause gehen würde.

P . S . :

In der Aufgabe wird offenbar fälschlicherweise davon ausgegangen, dass, wenn zero kommt, der Einsatz verloren ist. In der Regel ist das aber nicht der Fall - der Einsatz bleibt da am Tisch liegen (en prison) und spielt in der übernächsten Runde wieder mit - ist also nicht verloren. Kommt zero mehrfach hintereinander, so gibt es unterschiedliche Regeln ob dann der Einsatz doch eingezogen wird oder nicht.

P . P . S :

Du hast vermutlich bereits bemerkt, dass bei den Antworten Teile nach rechts überstehen und nicht mehr erkennbar sind und auch die Buttons nicht mehr vollständig vorhanden sind.
Schuld daran ist die überlange Formel (Summe) in deinem ersten Beitrag.
Möglicherweise kannst du diesen unter einem der folgenden Links noch editieren und die Formel zweizeilig setzen:

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ \cdot

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Fingolfin aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.05.2019

>Was meinst du mit "Weiterspielen"?
>Es bedeutet, dass, wenn der Spieler unendlich oft mit genau

255

€ zum Roulette-Tisch geht und nach dieser Regel spielt, dass er im Schnitt mit einem Verlust von

23,8

Cent nach Hause gehen würde.

Danke!!! "Unendlich oft mit dieser Strategie und mit genau 255€", das wollte ich verstehen. ´Vielen vielen Dank

Fingolfin aktiv_icon

18:04 Uhr, 07.05.2019

Danke für den Link! Geschafft!

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