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Rückschluss von einem Eigenvektor auf den Anderen
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Eigenwertaufgabe
 
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Hallo, in meiner Frage geht es um den Rückschluss von einem Eigenvektor auf einen anderen bei einer symmetrischen Matrix. Aufgabe: Bestimmung der Eigenwerte und -vektoren der Matrix: Nun kommen wir zu meinem Problem: In der Lösung steht, dass das aus der Bedingung der Vektor zu bestimmen ist. Könnte man mir das jemand mathematisch erklären/ herleiten. Ich bedanke mich im Voraus! MfG Sven EDIT: Wenn die Matrix symmetrisch ist, folgt daraus doch, dass die Eigenvektoren orthonormal sind oder? Kann man dann nicht auch durch die Bedingung auf den Vektor schließen ohne in die Eigenwertaufgabe einsetzen zu müssen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, das ist natürlich Unsinn. Man findet unter den Lösungen von einen von linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert 0. Vermutlich ein Dreckfuhler? Gruß ermanus |
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Ich kann Ihnen nicht ganz folgen, könnten Sie das etwas näher erläutern? |
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und gehören zum selben Eigenwert, d.h. sie müssen keineswegs orthogonal zueinander sein. Beide müssen aber orthogonal zu sein, da zu einem anderen Eigenwert als 0 gehört und Eigenvektoren, die zu verschiedenen (!) Eigenwerten gehören, orthogonal zu einander sind. |
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Okay, um es einmal zusammenzufassen: (Bitte einmal bestätigen ob ich das richtig verstanden habe) 1. Regel: Wenn eine Matrix symmetrisch ist sind die Eigenvektoren orthonormal zueinenander 2. Regel: Wenn sich die Eigenwerte einer Eigenwertaufgabe unterscheiden sind die Eigenvektoren orthogonal zueinander. WENN aber bei einer symmetrischen Matrix zwei Eigenwerte gleich sind, gilt die Orthonormalität der Eigenvektoren nur für die dessen Eigenwerte ungleich sind. Aber wie bestimme ich denn dann den zweiten Eigenvektor für den Eigenwert 0? Kann ich einfach zwei andere und festlegen wodurch sich ein neuer Wert ergibt? Und wie ergibt sich aus der Bedingung Der Eigenvektor ? Ich verstehe nicht wie man den Vektor daraus berechnen soll. |
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Zu 1. und 2. Wenn eine Matrix symmetrisch ist, dann sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zu einander (nicht notwendig orthonornal !). Nun sind nach deiner Bezeichnunsgweise und beides Eigenvektoren zum EW 0 Daher müssen sie orthogonal zu sein, d.h. es muss gelten: und (!) . So bekommt man für zwei lineare Gleichungen vom Rang 2. Wenn du und nimmst, bekommst du für das Gleichungssystem . Hieraus ergibt sich , d.h. für . |
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Super danke sehr! Nur noch eine letzte Frage ist aus meiner Antwort davor offen: "Aber wie bestimme ich denn dann den zweiten Eigenvektor für den Eigenwert 0? Kann ich einfach zwei andere und festlegen wodurch sich ein neuer Wert ergibt?" (EDIT: und somit der Eigenvektor voll definiert ist) |
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Deine Matrix hat drei gleiche Zeilen, d.h. nur eine "wesentliche" Zeile, also Rang = 1. Der Lösungsraum von - das ist der Eigenraum zum Eigenwert 0 - ist also 2-dimensional, wird also von 2 linear unabhängigen Vektoren und aufgespannt. Nun bedeutet nichts anderes als , also . Setzt man hier einmal und , so ergibt sich der Vektor , setzt man , so bekommt man . und bilden offenbar eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 0. |
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Gehst du von der Orthogonalität der Eigenvektoren aus, so suchst du Lösungen von , d.h. mit soll gelten , also , aber das kennst du ja schon ;-) |
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In meinen Vorlesungen wurde der Eigenraum in Bezug auf Eigenwertaufgaben nie erwähnt, von daher fällt es mir nicht so leicht die Erklärung nachzuvollziehen. Ich glaube aber, dass ich es für diesen speziellen Fall verstanden habe: Wenn also zwei Nullzeilen und zwei gleiche Lambdawerte existieren, kann ich sowohl für also auch für den und den Wert wählen wodurch sich bei beiden der Wert ergibt und ich somit zwei Eigenvektoren bestimmt habe. Ihre Erklärung scheint mir jedoch schon die Überleitung zu einem weiteren Problem zu sein: Ab hier folgt die Musterlösung des Professors: da isoliert ist folgt aus der Bedingung Nun zu meinem Problem: -Für bekomme ich heraus (Ein Onlinerechner ebenfalls) -Die Erläuterung wie er auf schließt verstehe ich leider garnicht -Wieso gilt hier die Bedingung ? Es handelt sich zwar um ungleiche jedoch ist doch die Matrix nicht symmetrisch (Ich hoffe die zweite Aufgabe sprengt nicht den Rahmen. Leider habe ich im Moment keine andere Möglichkeit vor der Klausur meine Fragen beantwortet zu bekommen) |
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Wenn du ein bisschen Geduld hast ... Muss gerade für eine Stunde aus dem Haus. |
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Natürlich! Ich bin schon dankbar genug, dass Sie sich meinen Problemen überhaupt annehmen. :-D) |
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Bin wieder da ;-) Die Eigenwerte stimmen, aber bei hast du Recht. Des Professors Vektor ist definitiv kein Eigenvektor. ist OK. Das Argument für : halte ich für Blödsinn. Zumal die Vektoren des Herrn Prof. das auch gar nicht erfüllen. Nimm zum Beispiel die Matrix . Diese hat offensichtlich die verschiedenen Eigenwerte und . Zugehörige Eigenvektoren sind und . Diese sind aber nicht orthogonal zu einander. |
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Könnten Sie mir erklären, wie die Erklärung des Vektors meines Professors gemeint ist? Ich kann die nicht nachvollziehen. Zu dem dritten Eigenvektor: Das heißt also allgmein, dass wenn die Matrix asymmetrisch ist, sind die Eigenvektoren nicht orthogonal zueinander, auch wenn die Eigenwerte unterschiedlich sind? |
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Er meint damit, dass wenn in der Matrix in einer Diagonalposition oberhalb, unterhalb, links und rechts davon nur Nullen stehen, dass dann das Element ein Eigenwert ist mit dem Eigenvektor . Das erkläre ich dir nun nicht weiter, denk ein bisschen darüber nach, dann wirst du es schon einsehen. Dass bei asymmetrischer Matrix die Eigenwerte notwendig nicht orthogonal zu einander sind bei verschiedenen Eigenwerten, weiß ich nicht :( Ich weiß nur dass Verschiedenartigkeit der Eigenwerte im symmetrischen Fall Orthogonalität bewirkt. So, nun gehe ich auf Tauchstation ;-) Gruß ermanus |
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Alles klar, Sie konnten mir auf jeden Fall sehr weiterhelfen! Danke nochmal! |
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