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Rückwärts Fouriertransformation

Universität / Fachhochschule

Tags: fouriertransformation

skybriix aktiv_icon

18:57 Uhr, 02.10.2019

Die Fouriertransformation von

h (t) = \frac{4}{3 + 2 x + x^{2}}

ist

\hat{h} (x) = 2 \sqrt{π} e^{i x - \sqrt{2} ∣ x ∣}

.

Wie kann ich jetzt einen Funktion

g

finden deren Fouriertransformierte

\hat{g} (x) = \frac{4}{3 + 2 x + x^{2}}

erfüllt?

Unsere Definition:

\hat{f} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i t x} d t

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:07 Uhr, 02.10.2019

Hallo,

Du braucht nur auf die Foureri-Transformation von

h

noch mals die Fouriertransformation anwenden und im ERgebnis das Vorzeichen des Arguments ändern.

Schau mal in Deinem Skript zum Stichwort Umkehrformel nach.

Gruß pwm

skybriix aktiv_icon

08:46 Uhr, 03.10.2019

Meinst du

\hat{\hat{h}} (x) = h (- x)

? Zu Umkehrformel finde ich nichts.

Wenn ich also die Fouriertransformierte von

h

nochmal Fourier-transformiere und das Vorzeichen des Arguments ändere, komme ich wieder auf

h

. Aber das ist doch nicht das was gesucht ist, oder?

Ich suche ja eine Funktion deren Fouriertransformierte

h

ergibt. Also ein

g

sodass

\hat{g} (x) = \frac{4}{3 + 2 x + x^{2}}

skybriix aktiv_icon

10:00 Uhr, 03.10.2019

Ich denke ich habs jetzt verstanden.

Sei

h (t) := \frac{4}{3 + 2 x + x^{2}}

mit zugehöriger Fouriertransformierter

\hat{h} (x) = 2 \sqrt{π} e^{i x - \sqrt{2} ∣ x ∣}

.

Es gilt:

\hat{\hat{h}} (t) = h (- t) \Rightarrow \hat{\hat{h}} (- t) = h (t)

.

Also:

h (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{h} (- x) e^{- i t x} d x = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{h} (x) e^{i t x} d x

.

Also ist die Antwort auf meine Frage

\hat{h} (- x) = 2 \sqrt{π} e^{- i x - \sqrt{2} ∣ x ∣}

.

Stimmt das so?

pwmeyer aktiv_icon

11:53 Uhr, 03.10.2019

Hallo,

check nochmal die Vorzeichen:

Wir suchen

g

mit

[F (g)] (x) = h (x)

Also

g (- x) = {F [F (g)]} (x) = [F (h)] (x)

Gruß pwm

skybriix aktiv_icon

15:20 Uhr, 03.10.2019

Ich verstehe nicht was du meinst.

Wieso stimmt

2 \sqrt{π} e^{- i x - \sqrt{2} ∣ x ∣}

nicht? Das folgende Integral (was ja nichts anderes als die Fouriertransformation dieser Funktion ist) ergibt laut Computer

\frac{4}{3 + 2 t + t^{2}}

was ja genau h(t) ist:

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} 2 \sqrt{π} e^{- i x - \sqrt{2} ∣ x ∣} e^{- i t x} d x = \frac{4}{3 + 2 t + t^{2}} = h (t)

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