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Runde 2: Zähle die Vierecke!

Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Anzahl, Quadrat, Viereck, Zahlen

jolex aktiv_icon

16:04 Uhr, 10.10.2009

Also,
ich will wieder die Anzahl Vierecke herausfinden, die es in dieser Figur gibt. Ich habs schon ein bisschen versucht, aber komme nicht wirklich weiter. Gut wäre natürlich eine Formel für die Anzahl abhängig von den Quadraten in einer Seite des Vierecks, aber die könnte unterschiedlich aussehen je nachdem ob es eine gerade oder ungerade Anzahl Seitenvierecke gibt! Ausser Rechtecken und Quadraten kommen hier auch noch Trapeze vor...

Als Anhang die Figur, mal mit

n = 4

Seitenquadraten, wer hat eine Idee wie viele Vierecke sich hier verbergen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Winkelsumme
Wurzelgesetze

magix aktiv_icon

16:09 Uhr, 10.10.2009

Vierecke oder Quadrate?

jolex aktiv_icon

16:10 Uhr, 10.10.2009

Vierecke, sonst wärs ja nicht gerade eine Kunst es herauszufinden ;-)

Photon aktiv_icon

22:18 Uhr, 10.10.2009

Ok, ich glaub, die hab ich auch. :-) Hier wieder erst mal das Ergebnis:

Für gerade

n : \sum_{k = 0}^{n} (k^{3}) + 4 \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} k

Für ungerade

n : \sum_{k = 0}^{n} (k^{3}) + 4 \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}} k

edit: So, Vorzeichenfehler und noch einen Fehler ausgebessert. Jetzt kommt für

n = 2

wie gezählt 9 raus. :-)

jolex aktiv_icon

15:34 Uhr, 12.10.2009

Wow, nicht schlecht, nicht schlecht... aber etwas stimmt nicht. Ich weiss aber nicht was weil ich keinen blassen schimmer habe wie du auf diese Formeln gekommen bist ;-) Ich habe nur mal überprüft, und bei

n = 2

kommt man mit der Formel auf

15,

beim Zählen komme ich auf

17

. Und bei

n = 3

hab ich aufgehört zu zählen sobald ich mehr hatte als mit der Formel (Formal sagt

46

glaube ich). Aber bei ungeraden

n' s

ist es äusserst kompliziert, ich glaube es ist leichter zuerst eine Formel für gerade

n' s

zu finden :-)
Danke für die schnelle Antwort! Behandelst du die "rechtecke" und "trapeze" separat oder schaust du wieder wie viele rechtecke UND Trapeze es gibt die einen bestimmten ausschnitt der Figur enthalten?
Also ich habe mich jetz nur mal mit der Frage beschäftigt wieviele Rechtecke es gibt. Dabei bin ich auf folgende Formel gekommen:

n²

+ n \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} n + \frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} ((2 n - 2 k + 1) \cdot (n + 1 - k) \cdot (n - k))

Irgendwie kann man die sicher vereinfachen, aber ich bin da nicht so das genie drin

> . <

Jedenfalls gibt diese bei

n = 3

schon

36

Rechtecke aus, und ich denke dann es hat sicher noch mehr als

10

Trapeze drin versteckt, so dass man auf über

46

kommt!

Grüsse

Photon aktiv_icon

16:20 Uhr, 12.10.2009

Ich hab mich bei der Formel vertippt, da sollte ein

k^{3}

statt eines

k^{2}

stehen. Habs korrigiert. Verbessert das die Lage? Für

n = 2

kriege ich 9 Vierecke raus: 4 Einzelquadrate, 4 Zweierrechtecke, 1 2x2-Quadrat und keine Trapeze. Wobei ich gerade sehe, 9 kommen mit meiner Formel auch nicht raus, da muss ich noch mal schauen, wo der Wurm versteckt ist. :-)

- -

Damit das hier auch steht. :-)

- -

edit: So, Vorzeichenfehler und noch einen Fehler ausgebessert. Jetzt kommt für

n = 2

wie gezählt 9 raus. :-)

jolex aktiv_icon

17:46 Uhr, 12.10.2009

Doch bei n=2 kommt bei deiner Formel schon 9 raus, aber das stimmt ja nicht. Auch bei n=2 hat es trapeze! Und zwar 8, meiner Meinung nach. Wenn ich dann die Trapeze bei n=3 Zähle komme ich schon auf 36! Denn da kommen noch zwei weitere "Arten" dazu, einerseits reguläre trapeze mit zwei schrägen seiten (hier 4), und Vierecke die nicht mal Trapeze sind (hab ich auch erst grade gemerkt...) Bei denen sind grade zwei schräge linien "aneinandergeschlossen" und bilden einen 90° Winkel, dann einen 135° mit einer geraden, noch einen 90° bei der Ecke eines Würfelchens und einen 45° in einer Ecke eines Würfelchens mit der Schrägen... Die sind auch noch zu berücksichtigen.

Whuuhuu jetz hab ich mich ein bisschen drangehockt und habs (glaube ich) :-D)
Zuerst hatte ich keinen blassen Schimmer wie du auf deine Formeln gekommen bist und hab mich gewundert, aber nach einer weile rechnen gelang es mir auch au ähnliche Formeln zu kommen. Ich hab sie mehrfach überprüft, sie stimmen :-D) Aber wie man auf die Anzahl Rechtecke mit deiner Formel mit der Summe von k³ kommt weiss ich nicht, hab ich übernommen anstatt meines Geschwüres.
Hier meine Formeln:

Für gerade n:

\sum_{k = 1}^{n} (k ³) + 8 \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} (k) + 12 \cdot \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} (k)

Für ungerade n:

\sum_{k = 1}^{n} (k ³) + 8 \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} (k) + 12 \cdot \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}} (k)

Hätte nicht mal gedacht dass es für das Formeln gibt... Vielleicht kann man die noch vereinfachen, aber eben, darin bin ich nicht der king ;-)
Ich setze die Frage mal als beantwortet!
Danke für die Hilfe
Grüsse

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19:26 Uhr, 12.10.2009

Aah, ich hab die ganzen unsymmetrischen Trapeze übersehen. :-)

jolex aktiv_icon

00:42 Uhr, 13.10.2009

Ja kein problem :-D) Du gibst dir echt mühe in diesem forum! Zu meinen Aufgaben hast du super mitgeholfen ;-)
Vielleicht hab ich ja mal wieder ne frage...

Photon aktiv_icon

15:09 Uhr, 13.10.2009

Naja, man hilft, wo man kann, und gerade deine Rechteckzählaufgaben machen auch ziemlichen Spaß. :-) Wenn du willst, kann ich die Formel für die Rechtecke "entschlüsseln", sag einfach Bescheid. Und wenn du noch ein paar Aufgaben von der Sorte hast, nur immer her damit. :-D)

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