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S^2 ist einfach zusammenhängend

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, einfach zusammenhängend, Sphäre

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13:39 Uhr, 11.02.2018

Hallo,

ich kenne den Beweis zu der Aussage im Titel mittels Entfernung des Nord bzw. Südpols und der stereographischen Projektion.

Mein Frage ist, ob folgendes auch ein Beweis dazu ist:

Ich teile

S^{2}

in:

U = {x, y, z \in S^{2} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, y < 1 / 2}

und

V = {x, y, z \in S^{2} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, y > - 1 / 2}

Also entferne sozusagen oben den Deckel bzw. unten.

Dann ist der Nordpol ein Retrakt von V und der Südpol von U (wie könnte man dies exakt angeben)?
Also ist bei U und V die Fundamentalgruppe trivial.

π_{1} (U \cap V) = ℤ

Also

π_{1} (S^{2}) = 1 ⋆_{ℤ} 1 = 1

S^{2}

ist also einfach zusammenhängend.
Wäre das ein richtiger Beweis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:45 Uhr, 11.02.2018

Hallo,
ich bin nun nicht gerade der Spezialist auf diesem Gebiet,
denke aber, dass du den van-Kampen-Satz für Fundamentalgruppen
verwendest. Ich meine, dass du das richtig machst, verstehe aber nicht,
wozu du die Fundamentalgruppe des "Äquatorgürtels" brauchst.
Gruß ermanus

Aegon aktiv_icon

15:29 Uhr, 11.02.2018

Bei Satz von Seifert van Kamoen betrachtet man ja das pushout Diagramm und dazu braucht man auch den Schnitt der zerlegenden Mengen

ermanus aktiv_icon

15:45 Uhr, 11.02.2018

Ich kenne nur die einfachere Variante des Satzes, die sich nicht um den
Kern der Abbildungen kümmert:

Theorem 4.3 in
http://www.math.uni-konstanz.de/~schnuere/skripte/fundamentalgruppen.pdf

Dort wird ohne Kenntnis von

π_{1} (U \cap V)

behauptet, dass

π_{1} (U) ⋆ π_{1} (V) \to π_{1} (S^{2})

surjektiv ist, und das reicht doch
wegen

1 ⋆ 1 = 1

hier aus, um auf

π_{1} (S^{2}) = 1

zu schließen ...

Aegon aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.02.2018

Wenn man das nicht beachtet dann kriegt man aber laut Satz nur Surjektivität und keinen Isomorphismus der Fundamentalgruppen, oder?

ermanus aktiv_icon

20:24 Uhr, 11.02.2018

Ja, das, was du sagst, ist richtig. Wenn man also
einen Isomorphismus braucht, muss man über das "Fasercoprodukt" gemäß Pushout gehen
und den Kern von

π_{1} (U) ⋆ π_{1} (V) \to π_{1} (X)

wegdividieren,
d.h.

π_{1} (U) ⋆_{π (U \cap V)} π_{1} (V)

als Definitionsbereich nehmen.
Sind aber die beiden Fundamentalgruppen von

U

und

V

trivial, so reicht
die Aussage über die Surjektivität; denn dann folgt ja auch bereits

π (X) = 1

Aegon aktiv_icon

20:30 Uhr, 11.02.2018

Danke.

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