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SL2 ist Mannigfaltigkeit

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Determinanten

Tags: Mannigfaltigkeit

Baumstamm aktiv_icon

15:06 Uhr, 02.04.2020

Hallo zusammen

Ich soll zeigen:

S L_{2} (ℝ)

ist eine Teilmannigfaltigkeit und deren Dimension angeben. Dafür soll ich den Satz vom konstanten Rang verwenden.
Da für

A \in S L_{2} (ℝ)

gilt:

det (A) = 1

habe ich mir die Funktion definiert:

F : ℝ^{4} \to ℝ

F (A) = det (A) - 1

Die Nullstellenmenge

M

von

F

ist dann

S L_{2}

. Nun habe ich aber ein Problem: Der Satz verlangt, dass DF(p) surjektiv ist

\forall p \in M,

wobei der Satz so geschrieben ist, dass die Definitions- und Wertemenge die gleiche Dimension haben soll, wie die Definitions- bzw. Wertemenge von F. Jedoch ist die Wertemenge der Determinantenfunktion 1-Dimensional

(ℝ),

das totale Differential von

F

jedoch 4-Dimensional

(ℝ^{4})

. Das verwirrt mich gerade sehr und ich wäre froh, wenn mir das jemand erläutern könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

17:19 Uhr, 02.04.2020

Hallo, Baumstamm!

Diese Verwirrung kann, so glaube ich, sehr schnell aufgelöst werden.
Das Differential

D F (p)

p \in M

ist ebenfalls eine Funktion von

ℝ^{4}

nach

ℝ

, also

D F (p) : ℝ^{4} \to ℝ

.

Viele Grüße

Baumstamm aktiv_icon

17:22 Uhr, 02.04.2020

Hallo Punov

Vielen Dank für deine Antwort. Sehe ich das richtig, dass ich vergessen habe, die Ableitung (Jacobi-Matrix) auf einen Punkt anzuwenden und nur die allgemeine Form angeschaut habe?

Viele Grüsse
Baumstamm

Punov aktiv_icon

17:33 Uhr, 02.04.2020

Hallo,

vielleicht missverstehe ich dich. Das ist einfach Definition...

Eine Funktion

f : U \to ℂ

auf einer offenen Menge

U \subset ℝ^{n}

heißt differenzierbar im Punkt

a \in U

, wenn es eine lineare Abbildung

L : ℝ^{n} \to ℂ

gibt derart, dass

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a) - L h}{∣ ∣ h ∣ ∣} = 0

und diese eindeutig bestimmte lineare Abbildung ist eben das Differential der Funktion

f

im Punkt

a

und wird mit

D f (a)

bezeichnet.

ermanus aktiv_icon

18:07 Uhr, 02.04.2020

Hallo,
eigentlich hat punov schon alles gesagt, aber hier vielleicht noch zu deiner
konkreten Situation:
Sei

A

eine

2 \times 2

-Matrix, zeilenweise gelesen, als

(a, b, c, d)

.
Dann ist

F (A) = a d - b c - 1

, also

d F (A) = (d, - c, - b, a) : ℝ^{4} \to ℝ, x \mapsto (d, - c, - b, a) \cdot x

,
gemeint ist das Skalarprodukt.
Wenn

A \in F^{- 1} (0)

ist, dann ist

d F (A)

nicht die Null-Linearform, folglich
surjektiv.
Gruß ermanus

Baumstamm aktiv_icon

15:05 Uhr, 04.04.2020

Vielen Dank, jetzt habe ich es geschafft.

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