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Sämtliche Komplexe Lösungen berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Polynomfunktion 6.Grades

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20:17 Uhr, 10.07.2016

Hallo wiedermal :-)

Hier die Aufgabenstellung:

4) a)

Berechnen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung

z^{6} - 2 z^{3} - 3 = 0

(Hinweis: Geeignete Substitution

!)

Natürlich habe ich den Hinweis beachtet und substituiert:

z^{3} = x \to x^{2} - 2 x - 3 = 0

Mitternachtsformel benutzt und

x 1 = 3

und

x 2 = - 1

Rücksubstituiert:

z 1 = \sqrt[3]{3}

und

z 2 = \sqrt[3]{- 1} = - 1

Ab hier weiß ich nicht mehr recht genau weiter, soll ich die LFZ, also

(z - \sqrt[3]{3}) \cdot (z + 1),

errechnen und das Polynom dann durch die LFZ teilen?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

20:25 Uhr, 10.07.2016

\to

"Berechnen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung"
Es gibt 6 Lösungen !

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20:43 Uhr, 10.07.2016

@Respon
Erstmal danke für die schnelle Antwort. Klar doch, ich weiß, es gibt 6 Lösungen, zwei davon habe ich bereits, meine Frage ist:

Wie soll ich weiter machen um die restlichen 4 Lösungen zu erhalten? die Linearfaktorzerlegung von beiden Lösungen miteinander multiplizieren und dann die gesamte Funktion durch das Ergebnis der Multiplikation?
Scheint mir aber zu aufwändig, vor allem wegen der dritten Wurzel...

Respon

20:50 Uhr, 10.07.2016

Ist dir das Radizieren von komplexen Zahlen bekannt ?
Du hattest

z^{2} = 3

Fasse 3 als komplexe Zahl auf

3 = 3 + 0 \cdot i = 3 \cdot (cos (0) + i \cdot sin (0))

\Rightarrow

\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} \cdot (cos (\frac{0 + 2 \cdot k \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{0 + 2 \cdot k \cdot π}{3}))

k = 0,1,2

\Rightarrow

z_{1} = . .

z_{2} = . .

z_{3} = . .

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21:25 Uhr, 10.07.2016

Achso! Ich glaube ich verstehe:

die gefundenen Lösungen:

z^{3} = - 1

und

z^{3} = 3

haben ja jeweils 3 komplexe Lösungen...
für

z^{3} = - 1

z_{k} = \sqrt[3]{1} \cdot e^{i \cdot (\frac{π}{3} + \frac{2 \cdot π \cdot k}{3})}

wobei

k = {0,1,2}

und für

z^{3} = 3

z_{k} = \sqrt[3]{3} \cdot e^{i \cdot \frac{2 \cdot π \cdot k}{3}}

wobei

k = {0,1,2}

richtig? :-) oh man darauf wär ich eigentlich auch alleine gekommen, bin ich aber nicht.

Respon

21:31 Uhr, 10.07.2016

Da für

z^{3} = 3

und

z^{3} = - 1

jeweils eine reelle Lösung existiert kann man sich etwas Rechenaufwand ersparen.
Man weiß ja, wie sich die Lösungspunkte auf der komplexen Ebene verteilen.

z^{3} = 3 \Rightarrow

regelmäßiges Dreieck

\Rightarrow

Argument für die komplexen Lösungen jeweils

\frac{2 \cdot π}{3}

bzw.

\frac{4 \cdot π}{3}

.
Kann man machen, muss aber nicht.
Wenn Beispiel gelöst, dann abhaken.

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