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Satz vom abgeschlossenen Graphen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Stetigkeit
Tags: Funktion, Stetigkeit
 
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Guten Tag, in folgender Aufgabe geht es darum den Satz vom abgeschlossenen Graphen zu beweisen: Seien und metrische Räume mit Y kompakt. Dann: stetig abgeschlossen Die Richtung scheint mir trivial oder überseh ich da was? Bei der anderen Richtung bin ich mir nicht sicher wo ich anfangen soll. Ausserdem muss auch folgende Frage beantwortet werden: Gilt den Satz vom abgeschlossenen Graphen ohne die Kompaktheit Voraussetzung? Genügt dabei auch einfach ein Gegenbeispiel, wie zB und Hier ist f stetig aber der Graphen ist nicht abgeschlossen. MfG, Noah |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, habe noch nicht viel zu der Aufgabe mitzuteilen, nur so viel: dein "Gegenbeispiel" ist keines; denn das Komplement des Graphen ist offen in . Gruß ermanus |
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Hallo, "Die Richtung ⇐ scheint mir trivial oder überseh ich da was?" Da würde ich gerne mal den trivialen Beweis sehen. Was hältst Du von folgendem Beispiel: für und Gruß pwm |
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Hallo, ja, diese Beispiel ist tatsächlich besser. Zum Beweis: Kann man vielleicht bei der Richtung so durch Widerspruch argumentieren: f ist stetig, aber G(f) nicht abgeschlossen, daraus folgt, dass der Graphen auf einer (oder mehreren) Stellen/Intervallen offen ist, was aber eine Unstetigkeitsstelle ist. Also ein Widerspruch. MfG, Noah |
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Hallo, die ""-Richtung ist auch wahr, wenn nicht kompakt ist. Das Problem tritt in der ""-Richtung auf. Gruß ermanus |
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Hallo, ist das Beispiel von pwm nicht schon ein Gegenbeispiel zur "Y nicht kompakt" Aussage? Mein Versuch auf einen Beweis bezog sich auf den eigentlichen Satz. MfG, Noah |
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pwmeyers Beispiel ist ein Gegenbeispiel für stetig abgeschlossen für den Fall, dass nicht kompakt ist. Klar kannst du versuchen stetig und nicht abgeschlossen zu einem Widerspruch zu führen. |
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Was ja beweist, das Y kompakt sein muss und dass die zweite Aussage also nicht gilt, oder? |
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Ja. Also bleibt zu beweisen, dass gilt: (i) abgeschlossen und kompakt stetig und (ii) stetig abgeschlossen |
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Genau, und ich habe (ii) folgendermassen durch Widerspruch versucht zu beweisen: f ist stetig, aber G(f) nicht abgeschlossen, daraus folgt, dass der Graphen auf einer (oder mehreren) Stellen/Intervallen offen ist, was aber eine Unstetigkeitsstelle ist. Also ein Widerspruch. Wobei ich mir nicht sicher bin ob das ansatzweise richtig ist. |
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Es ist nicht klar, was du mit "der Graph ist an einer Stelle offen" genau meinst ... |
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Vielleicht war "offen" das falsche Wort. Ich meint, dass wenn ein Graphen nicht abgeschlossen ist, hat man ja Stellen, die die Abgeschlossenheit "zerstören". Es kann natürlich auch sein, dass ich den Begriff von einem abgeschlossenem Graphen nicht richtig verstanden habe. Wie ist so ein Graph denn definiert? |
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Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie alle Berührungspunkte enthält. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist. Es gibt sicher noch ein paar andere Charakterisierungen ... |
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"Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist." Genügt die Definition denn nicht, um den Satz in die Richtung zu beweisen: Die Menge der x ist das Urbild der Menge der y, die kompakt, also abgeschlossen, ist und f ist stetig, also ist die Menge der x und y abgeschlossen und damit auch der Graphen. |
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Also ist als ganzer Raum abgeschlossen, egal ob kompakt oder nicht. Es ist . Damit weißt du, dass abgeschlossen ist. Aber das ist ja ohnehin klar, dass der ganze Raum abgeschlossen ist. Und was hat das alles mit dem Graphen zu tun? Frage: wie ist denn bei euch die Topologie von definiert ? Über eine bestimmte Metrik, die sich aus und irgendwie zusammensetzt? |
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