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Satz von Baire

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Mengentheoretische Topologie

Tags: Folgen und Reihen, Mengentheoretische Topologie

 
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KTest00

KTest00 aktiv_icon

01:30 Uhr, 16.05.2018

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Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage zu einem Beweis.

Ich soll den Satz von Baire (siehe Bild) mit dem Schachtelungsprinzip beweisen.

Diesmal ist sogar ein Hinweis dabei, allerdings weiß ich trotzdem nicht genau, wie ich hier ran gehen soll.
Vielleicht hilft es mir auch, wenn mir jemand einfach noch mal den Hinweis etwas ausführlicher erklärt?

Danke im Voraus für Hilfe und Tipps.

VG KTest00

Baire

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

06:11 Uhr, 16.05.2018

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Die Idee ist grundsätzlich hier beschrieben (oder auch sonstwo):
http//www.mathepedia.de/Bairescher_Kategoriensatz.html

Kurz, (iAi)\A1 ist offen und nicht leer, daher liegt dort eine offene Kugel U(a1,r1) vom Radius r1<1, dann nehmen für B1 die Menge U(a1,r1/2). Weiter haben eine offene Kugel U(a2,r2) vom Radius r2<1/2, welche in (iAi)\A2 liegt, und nehmen für B2 die Menge B1U(a2,r2/2). Usw. Die Punkte ai spielen keine Rolle.
KTest00

KTest00 aktiv_icon

15:21 Uhr, 16.05.2018

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Danke schonmal.

Mir ist leider noch nicht ganz klar, wie diese Bi konstruiert werden bzw. warum wir so konstruieren, wie wir es tun.

Infolgedessen ist mir daher auch noch nicht ganz klar, wieso am Ende ein Widerspruch vorliegt.

Danke im Voraus.

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 16.05.2018

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"Mir ist leider noch nicht ganz klar, wie diese konstruiert werden"

Dort oben ist die genaue Vorschrift. Daher frag konkreter.

"bzw. warum wir so konstruieren, wie wir es tun"

Weil wir damit das Ziel erreichen. Wie man darauf kommen kann, weiß ich nicht. Der Beweis ist nicht trivial, von daher kann vermutlich bei weitem nicht jeder selber darauf kommen.

KTest00

KTest00 aktiv_icon

16:54 Uhr, 16.05.2018

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Mir ist nicht ganz klar, wieso diese Kugel mit r<1 bzw. r<12 etc. existieren muss.

Außerdem ist mir der Widerspruch am Ende nicht klar.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:39 Uhr, 16.05.2018

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In jeder offenen nichtleeren Menge liegt eine Kugel drin, per Definition. Und den Radius kann man verkleinern, wenn er zu groß ist. Die kleinere Kugel liegt dann immer noch drin.
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