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Satz von Baire Anwendung unklar

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Sonstiges

Tags: Baire, Banachraum, Funktionalanalysis, MATH, Mathematik

anonymous

19:39 Uhr, 23.04.2021

Hallo!

Behauptung: Ein unendlich dimensionaler Banachraum besitzt keine abzählbare Basis.

Beweis:

Angenommen der Banachraum

(E, | | \cdot | |)

mit

dim (E) = \infty

hätte eine abzählbare Basis

{b_{k} | k \in ℕ}

.

Sei

E_{k} := l i n {b_{m} | m \leq k}

. Dann ist

dim (E_{k}) < \infty

und somit ist

E_{k}

abgeschlossen und

E = ⋃_{k \in ℕ} E_{k}

. Nach dem Satz von Baire gibt es ein

k_{0} \in ℕ,

sodass das Innere von

E_{k_{0}}

nicht leer ist.

Somit existieren

x \in E

und

ε > 0,

sodass

B (x, ε) \subset E_{k_{0}}

. Da

E_{k_{0}}

Unterraum ist folgt:

B (0, ε) = B (x, ε) - x \subset E_{k_{0}}

und somit

E ⋃_{n} \in ℕ n B (0, ε) \subset E_{k_{0}}

. Also ist

dim (E) < \infty

□

Ich verstehe aber nicht wie der Satz von Baire hier angewandt wurde... Ich kenne den Satz nur so:

Sei

(M, d)

ein ein metrischer Raum und seien

{(U_{n})}_{n \in ℕ}

offene dichte Teilmengen von M. Dann ist auch

⋃_{n \in ℕ} U_{n}

dicht in M.

Danke und LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:24 Uhr, 23.04.2021

"Ich verstehe aber nicht wie der Satz von Baire hier angewandt wurde... Ich kenne den Satz nur so"

Du meinst vermutlich den Schnitt und nicht die Vereinigung, sonst ist es kein Satz von Baire.

Es gibt verschiedene äquivalente Formulierungen des Satzes:
de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Baire

DrBoogie aktiv_icon

22:26 Uhr, 23.04.2021

Hier steht, warum die Formulierungen äquivalent sind (eher unten):
matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=69504&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

anonymous

14:47 Uhr, 25.04.2021

Danke!

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