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Satz von Gauß

Universität / Fachhochschule

Tags: Gauss

gonnabeph aktiv_icon

21:00 Uhr, 25.04.2015

Hallo, ich habe die Aufgabe:

Überprüfen Sie den Satz von Gauß durch explizites Berechnen beider Seiten für die folgenden Vektorfelder

F (r)

und Volumen

Ω

.

a)

F = y e_{x} + 2 x^{2} e_{y}

und

Ω = {r \in R^{3} ∣ ∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣ < 1}

F = x e_{x} - 2 z e_{y}

und

Ω = {r \in R^{3} ∣ 0 \leq x, y, z

und

x + y + z \leq 1}

F = r s i n θ e_{r} - c o s θ e_{φ}

und

Ω = {r \in R^{3} ∣ r = ∣ r ∣ < 1}

Meine Ideen:

a) Ich habe mir die Menge erstmal aufgezeichnet. Es muss sich dabei um ein Tetraeder handeln. Nun habe ich allerdings bei der Parametrisierung der Fläche. Wie stelle ich sowas an?

b) Hier muss es sich um ein Dreieck handeln. Wie bekomme ich das parametrisiert?
c) Noch keine Idee.

Kann jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:37 Uhr, 25.04.2015

Hallo

a)

ist ein Würfel der Kantenlönge 2 um den 0 Punkt

b)

ist ein Tetraeder, im 1. Qudranten, abgeschlossen nach oben durch die Ebene (Dreieck

x + y + z = 0

zeichne einfach.

c =

ist die Einheitskugel um 0 also Kugelkoordinaten verwenden.
Gruß ledum

gonnabeph aktiv_icon

11:16 Uhr, 26.04.2015

Hallo ledum,

a) Ja, jetzt sehe ich es auch. Es muss sich um einen Würfel handeln. Nun gilt es dazu eine passende Parametrisierung zu finden.

Für Gauß gilt:

\int \int_{\partial W} \vec{F} d \vec{O} = \int \int \int d i v \vec{F} d x d y d z

die rechte Seite ist nicht das Problem, das Integral müsste folgendermaßen ausschauen:

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d i v \vec{F} d x d y d z

.
Das Integral lässt sich leicht berechnen.

Das Problem habe ich eher bei dem finden einer passenden Parametrisierung. Gibt es dazu irgendwelche Tricks wie ich die bekomme? Einen Ansatz habe ich nämlich noch nicht. Ich könnte die jeweiligen Würfelseiten einzeln parametrisieren und dann 6 Oberflächenintegrale einzeln berechnen aber das ist ja nicht Sinn der Sache.
Kannst du mir helfen?

b)

Hier habe ich mir erstmal

x + y + z \leq 1

näher angeschaut.
Dazu habe ich mir die xy Ebene angeschaut indem ich

z = 0

gesetzt habe. Demnach schneidet der Tetraeder die xy Ebene bei

1

Dann habe ich mir die xz Ebene angeschaut. Dort schneidet der Tetraeder die Achsen bei 1 und 1 das Gleiche bei der yz Ebene.

Demnach müsste ich die Menge erhalten

Ω = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1}

c) Hier müsste ich klar kommen wobei ich mir noch nicht ganz im klaren bin warum mit |r|<1 ein Würfel dargestellt wird. Kannst du mir das erklären?

Danke schonmal! :-)

gonnabeph aktiv_icon

22:50 Uhr, 27.04.2015

Die Aufgabe mit dem Würfel habe ich hinbekommen.
Ich hänge noch an der zweiten und dritten.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich bei der b) Wenn ich das Oberflächenintegral berechne =2.
Allerdings komme ich auf kein gescheites Ergebnis bei dem Volumenintegral. Mein Integral sieht dabei folgendermaßen aus:

\int_{0}^{1} \int_{0}^{- x} \int_{0}^{1 - x - y} d z d y d x = \frac{1}{6}

Entweder ist mein Oberflächenintegral falsch oder die Wahl meiner Integrationsgrenzen.

c)
Wie kann ich denn davon das Oberflächenintegral berechnen? Ich habe ein Vektorfeld in Kugelkoordinaten vorliegen.

Ich habe die Parametrisierung

Φ (θ, φ) = (r \sin θ \cos φ, r \sin θ \sin φ, r \cos θ)

Dann habe ich den Normalenvektor berechnet:

\frac{\partial Φ}{\partial θ} \times \frac{\partial Φ}{\partial φ} = r^{2} \sin θ (\cos φ \sin φ, - \sin φ \sin θ, \cos θ)

Nun habe ich versucht das Oberflächenintegral zu berechnen. Dazu muss ich noch die Verknüpfung von

F (Φ) = F (r s i n θ c o s φ, r s i n θ s i n φ, r c o s θ)

bilden. Da

F

allerdings nicht in kartesischen Koordinaten vorliegt, kann ich die Komponenten ja nicht einfach einsetzen. Was ich erhalte sind hässliche Ausdrücke die sich quasi garnicht integrieren lassen.

Bei dem Volumenintegral habe ich hier erhalten:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} r^{2} \sin^{2} θ d r d θ d φ = \frac{1}{3} π^{2}

Kann mir noch jemand helfen?

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