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Satz von Lagrange?

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

Looris96 aktiv_icon

19:22 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

folgende Aufgabe:

Beweisen Sie:

(i)

Ist

h

ein fest gewähltes Element der Gruppe

G,

so ist

λ_{h}

in Sym(G) gegeben durch

λ_{h} = h \cdot g

für alle

g \in G

(ii) Ist

p

eine Primzahl, so gibt es eigentlich nur eine Gruppe der Mächtigkeit

p

(Tipp: Betrachen Sie im vorliegenden Spezialfall die Zerlegung von

λ_{h}

in disjunkte Zykel).

Ich kann mir vorstellen, dass es etwas mit dem Satz von Langrange zu tun hat, aber wie man es genau beweist, bin ich raus.. Kann mir jemand helfen?

Dankeschön!:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:32 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

(i) sollte eigentlich kein Problem darstellen:

λ_{h} \in Sym (G)

heißt ja nichts anderes, als dass

λ_{h}

eine Bijektion auf

G

darstellt.
Vielleicht eine Hilfe: Ist

φ : M \to N

injektiv, so auch surjektiv, wenn

M, N

endlich sind.

Offenbar ist (ii) das eigentliche Problem?!

Immerhin musst du wissen, dass

∣ {h^{n} ∣ n \in ℕ} ∣ ∣ p

ist, sofern

p

die Gruppenordnung ist.
Ist

h \neq e

, so gilt sogar

G = {h^{n} ∣ n \in ℕ}

. Jedes Element von

G

ist eine Potenz von

h

, wodurch die Zykel-Schreibweise von

λ_{h}

recht einfach wird.

Mfg Michael

Looris96 aktiv_icon

20:06 Uhr, 07.11.2019

ich steh leider auch bei der

(i)

gerade irgendwie aufm Schlauch..

michaL aktiv_icon

20:36 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

>> (i) sollte eigentlich kein Problem darstellen
> ich steh leider auch bei der (i) gerade irgendwie aufm Schlauch..

Hm, das kann man deinem Posting nicht unbedingt entnehmen. Das macht Rückfragen nötig, wie du nun bemerkst.
Versuche doch bitte in Zukunft, dich weniger missverständlich auszudrücken.

Zu (i): Ist dir klar, dass deine Aufgabe darin besteht, zu beweisen, dass

λ_{h} \in Sym (G)

liegt?

Bitte schaue nach (und gib hier kontrollweise an), was

Sym (G)

heißt bzw. was seine/ihre Elemente charakterisiert.

Mfg Michael

Looris96 aktiv_icon

20:41 Uhr, 07.11.2019

Darunter verstehen wir die symmetrische Gruppe. Bei der Verknüpfung handelt es sich soweit ich weiß um Hintereinanderausführungen. Es gibt noch ein neutrales und inverses Element..

michaL aktiv_icon

20:48 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

wodurch zeichnen sich die Elemente so einer symmetrischen Gruppe aus?

Mfg Michael

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