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Satz von Lagrange?

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

 
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Looris96

Looris96 aktiv_icon

19:22 Uhr, 07.11.2019

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Hallo,

folgende Aufgabe:

Beweisen Sie:

(i) Ist h ein fest gewähltes Element der Gruppe G, so ist λh in Sym(G) gegeben durch λh=hg für alle gG

(ii) Ist p eine Primzahl, so gibt es eigentlich nur eine Gruppe der Mächtigkeit p (Tipp: Betrachen Sie im vorliegenden Spezialfall die Zerlegung von λh in disjunkte Zykel).

Ich kann mir vorstellen, dass es etwas mit dem Satz von Langrange zu tun hat, aber wie man es genau beweist, bin ich raus.. Kann mir jemand helfen?

Dankeschön!:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

19:32 Uhr, 07.11.2019

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Hallo,

(i) sollte eigentlich kein Problem darstellen: λhSym(G) heißt ja nichts anderes, als dass λh eine Bijektion auf G darstellt.
Vielleicht eine Hilfe: Ist φ:MN injektiv, so auch surjektiv, wenn M,N endlich sind.

Offenbar ist (ii) das eigentliche Problem?!

Immerhin musst du wissen, dass {hnn}p ist, sofern p die Gruppenordnung ist.
Ist he, so gilt sogar G={hnn}. Jedes Element von G ist eine Potenz von h, wodurch die Zykel-Schreibweise von λh recht einfach wird.

Mfg Michael
Looris96

Looris96 aktiv_icon

20:06 Uhr, 07.11.2019

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ich steh leider auch bei der (i) gerade irgendwie aufm Schlauch..
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:36 Uhr, 07.11.2019

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Hallo,

>> (i) sollte eigentlich kein Problem darstellen
> ich steh leider auch bei der (i) gerade irgendwie aufm Schlauch..

Hm, das kann man deinem Posting nicht unbedingt entnehmen. Das macht Rückfragen nötig, wie du nun bemerkst.
Versuche doch bitte in Zukunft, dich weniger missverständlich auszudrücken.

Zu (i): Ist dir klar, dass deine Aufgabe darin besteht, zu beweisen, dass λhSym(G) liegt?

Bitte schaue nach (und gib hier kontrollweise an), was Sym(G) heißt bzw. was seine/ihre Elemente charakterisiert.

Mfg Michael
Looris96

Looris96 aktiv_icon

20:41 Uhr, 07.11.2019

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Darunter verstehen wir die symmetrische Gruppe. Bei der Verknüpfung handelt es sich soweit ich weiß um Hintereinanderausführungen. Es gibt noch ein neutrales und inverses Element..
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michaL

michaL aktiv_icon

20:48 Uhr, 07.11.2019

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Hallo,

wodurch zeichnen sich die Elemente so einer symmetrischen Gruppe aus?

Mfg Michael
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