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Satz von Lagrange, endliche Gruppe

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Tags: Gruppen, Lagrange, Teil, Untergruppe, zyklisch

 
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Fabienne-

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19:52 Uhr, 10.11.2014

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Hallo,

ich bräuchte nochmal eine Anregung von euch bei dieser Aufgabe:

Gegeben sei eine endliche zyklische Gruppe mit G=n.
Zeigen Sie, dass es für jeden Teiler ¨
m von n eine eindeutige Unterguppe H von G existiert mit H=m

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich dies mit dem Satz von Lagrange lösen kann.
Ich würde fast meinen es folgt direkt...
Nur das mit der "eindeutigen" Untergruppe irritiert mich ein wenig. Ist die Aufgabe wirklich so einfach?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.11.2014

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G zyklisch => aG, so dass G={e,a,a2,...,an-1} - das ist die Definition.
Wenn jetzt m ein Teiler von n ist, dann ist n=mk mit einem k.
Dann ist H={e,ak,a2k,...,a(m-1)k} eine zyklische Gruppe mit H=m.

Wenn jetzt H eine beliebige Untergruppe ist mit H=m, dann betrachten das minimale j mit aj in H. Dann kann man zeigen (mit Lagrange), dass j=n/m. Das wäre die Eindeutigkeit.

Fabienne-

Fabienne- aktiv_icon

21:00 Uhr, 10.11.2014

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Ich sehe leider nicht wie ich mit Lagrange eine Aussage über den Exponenten machen kann :'(
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:52 Uhr, 10.11.2014

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www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/personal/krauter/kurse/WS_05_06/Pruefungsseminar/Zyklische_Gruppen.pdf
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