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Satz von Stokes: Orientierung der Parametrisierung
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
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Hallo, geg: Kurve Rand von ist Der Satz von Stokes sagt nun, dass ich das Vektorfeld über den Rand integrieren darf, was der Zirkulation entspricht. Dazu muss ich die Parametrisierung von positiv wählen. In der Vorlesung haben wir dazu folgende Merkregel kennengelernt: Wenn ich mit dem Kopf in Richtung des äußeren Normalenvektors entlang laufe, dann ist die positive Richtung die, bei der ich links von mir sehe. Aber woher weiß man welche Orientierung der äußere Normalenvektor hat? Im zeigt er ja von der Fläche weg. Aber wie ist es im ? Er steht ja senkrecht auf aber welche Orientierung? Ich habe ja kein Volumen, für das ich sagen kann, der äußere Normalenvektor zeigt davon weg (sondern nur eine Fläche und deren Rand. Dazu unten Mal ein Beispiel, oder?  |
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Hallo, der Satz von Stokes garantiert die Gleichheit von 2 Integralen, einem Flächenintegral und einem Kurvenintegral - wenn die Parametrisierungen zusammen passen: Du wählst eine Parametrisierung für die Fläche. Aus dieser Flächenparametrisierung berechnest Du die Flächen-Normale. An dieser Flächen-Normale orientierst Du den Umlaufsinn der Kurve (wie in der Merkregel beschrieben). Dabei gibt es nur 2 Fälle. In Deiner Skizze zum Beispiel zeigt die Normale - je nach Parametrisierung nach oben oder unten. Gruß pwm |
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Hallo, erstmla vielen Dank für deine Antwort. Die Flächennirmale berechne ich ja mittels Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen. Allerdings stellt sich hier wieder das Problem, welche Ableitung ich vor und welche nach dem Kreuzproduktoperator schreibe. Je nachdem ergeben sich wieder entgegengesetzte Richtung, oder? Gibt es da eine Regel, welche Ableitung vorne stehen muss? |
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Nein, es gibt keine Regel. Eine Flächen-Parametrisierung ist eine Abbildung . Damit ist festgelegt, welche Variable die erste ist und welche die zweite. Und so ist auch das Kreuzprodukt zu berechnen. Natürlich gibt es in der Praxis Gewohnheiten und eventuell Einschränkungen aus einem Praxisbezug. Vielfach wird es als richtig angesehen, dass eine Normale "nach oben" zeigt.... |
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Danke, . die Variable die in der Abbildung vorne steht, steht auch im Kreuzprodukt vorne? |
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