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Satz von er Potenzmenge
Universität / Fachhochschule
Tags: Menge, Potenzmenge, widerspruchsbeweis
 
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Ich habe Mühe, den folgenden Beweis zu verstehen. Wenn ihn jemand etwas ausführlicher erläutern könnte, waer das super. --------- BEGINN ---------- Satz von der Potenzmenge: Fuer jede nichtleere Menge gilt: Die Potenzmenge ist nicht gleichmächtig zu . Da immer eine zu gleichmächtige Teilmenge enthält (nämlich die Menge aller einelementigen Teilmengen mit ), hat also eine größere Mächtigkeit als . Beweis (durch Widerspruch): (1) Angenommen, es gäbe eine bijektive Abbildung von auf . Dann ist für alle das Bild eine Teilmenge von . Für gewisse gilt, dass in liegt, wärend für andere Elemente gilt. (2) Der Trick des Beweises besteht darin, die Subjekte mit genauer unter die Lupe zu nehmen. Wir fassen diese zu einer Menge zusammen: . Dann ist ganz bestimmt eine Teilmenge on , also eine Element von . Da eine bijektive Abbildung von nach ist, gibt es also ein Element mit . Für dieses gilt - wie für jedes Element aus - die Alternative, in enthalten zu sein oder nicht. (3) Ist , so muss die definierende Eigenschaft der Menge erfüllen, nämlich . Also folgte aus die Tatsache , offenbar ein Widerspruch. Daher bleibt nur die zweite Möglichkeit: . Wegen , heißt dies . Das heißt aber, dass die definierende Eigenschaft der Menge erfüllt, daher muss auch gelten. Dies zeigt, dass auch diese Moeglichkeit nicht auftreten kann. Deshalb ist die ursprüngliche Annahme, dass es eine bijektive Abbildung von nach gibt, falsch. Damit ist der Satz bewiesen. ---------- END --------- Insbesondere verstehe ich in (1) nicht, warum eine Teilmenge von sein soll. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, was sind denn die Elemente von ? Gruß ermanus |
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Also so weit ich das verstanden habe, ist eine eigenständige Menge, wobei die Elemente (hier jedenfalls) nicht definiert sind. Da angenommen wird, dass es von auf eine bijektive Abbildung gebe, müsste gleich so mächtig wie sein. Aber ich glaube, das spielt hier keine Rolle, jedenfalls kann ich nicht erkennen dass eine Teilmenge von ist. Habe ich da etwa was übersehen? |
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Da steht aber doch deutlich, dass die Potenzmenge von sein soll. Sonst gibt das doch alles gar keinen Sinn. |
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Dann soll wohl eine (unechte) Teilmenge von sein... ... aber dann kann man nicht wie in (1) behaupten, dass: "Für gewisse x∈X gilt, dass x in f(x) liegt, wärend für andere Elemente x∉f(x) gilt." *edit* Insbesondere, da eine bijektive Abbildung von auf sein soll. |
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...es sei denn, dass Bijektivität nicht bedeutet, dass auch jedem Element der Urmenge unbedingt ein Element der Bildmenge zugeordnet werden muss. Dann hätte ich die Bijektivität falsch verstanden und das Ganze würde Sinn ergeben. |
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Ich verstehe dein Problem nicht. Wenn eine Teilmenge von ist, kann diese enthalten oder nicht enthalten. Es muss also oder gelten. Wir wollen zeigen, dass es keine Bijektion geben kann. Ja, wir zeigen sogar, dass es nicht einmal eine surjektive Abbildung geben kann. Daher nehmen wir an, wäre eine solche, und führen dies zum Widerspruch. |
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Es ist wegen: "Angenommen, es gäbe eine bijektive Abbildung von auf . Dann ist für alle x∈X das Bild eine Teilmenge von X. Für gewisse x∈X gilt, dass liegt, wärend für andere Elemente x∉f(x) gilt." Das "Dann..." ist irritierend. Ich dachte, es bezieht sich auf die Bijektivität. |
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Hallo wenn wie vorausgesetzt injektiv ist muss doch auf eine Teilmenge von abbilden? denn ist ja Element von . Gruß ledum |
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Die Injektivität von spielt im Beweis gar keine Rolle, wichtig ist die Surjektivität. Dass man immer eine injektive Abbildung finden kann, ist klar und führt natürlich nicht zu einem Widerspruch. |
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Vielen Dank erst mal dir, @ermanus, dafuer dass du so konstruktiv in meinem Thread geantwortet hast. Ich glaube, dass ich den Beweis an sich verstanden habe, er ist nicht gerade einfach zu verdauen, jedenfalls nicht fuer mich. Es bleibt fuer mich allerdings noch ein Raetsel, wie die Behauptung von zustande kommt. Ich waere dankbar, wenn du mich da ein wenig erhellen koenntest. Gruss, Nico |
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Vielleicht ist dir nicht klar, dass " und sind gleichmächtig" dasselbe bedeutet wie "Es gibt eine Bijektion ". Wenn man also die Gleichmächtigkeit zum Widerspruch führen möchte, kann man die Existenz einer bijektiven Abbildung zum Widersprumch führen. Gruß ermanus |
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Es ist mir schon klar, dass die Gleichmaechtigkeit von und eine Bijektion zur Folge hat. Aber wie kann dann die Menge dieser Bijektion eine Teilmenge von sein? Muesste diese Menge nicht genau so maechtig sein wie die Menge ? |
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Was verstehst du unter "die Menge dieser Bijektion " ? Gruß ermanus |
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Also damit meine ich die Menge der Elemente, die die Bijektion abbildet. Ich hoffe, das ist so richtig forumuliert, ich bin naemlich nicht gerade in mathematischen Ausdrucksweisen versiert. Um ehrlich zu sein, ich habe nur relativ wenig mathematisches Grundwissen, da meine Schulzeit ca. 20 Jahre zurueck liegt. Ich habe zur Zeit nur gerade das Buch "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher in die Haende bekommen, das ich interessant zu lesen finde, wegen der vielen Beweise die darin aufgefuehrt werden. Und ich entschuldige mich auch fuer meine ausgeschriebenen Umlaute, da ich hier mit US-Tastatur tippe und zu faul bin, die Umlaute im Nachhinein zu korrigieren. LG |
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Hallo, leider ist das ganz unverständlich ausgedrückt. ist eine Abbildung, die jedem ein Element von zuordnet, d.h. für jedes ist eine Teilmenge von . Hier ein Beispiel einer solchen Funktion: Es sei , dann ist ein sieht dann z.B. so aus: oder vielleicht so: oder... oder... Gruß ermanus |
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