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Satz von er Potenzmenge

Universität / Fachhochschule

Tags: Menge, Potenzmenge, widerspruchsbeweis

 
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nanal

nanal aktiv_icon

12:59 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Ich habe Mühe, den folgenden Beweis zu verstehen. Wenn ihn jemand etwas ausführlicher erläutern könnte, waer das super.

--------- BEGINN ----------
Satz von der Potenzmenge:
Fuer jede nichtleere Menge X gilt: Die Potenzmenge P(X) ist nicht gleichmächtig zu X.
Da P(X) immer eine zu X gleichmächtige Teilmenge enthält (nämlich die Menge aller einelementigen Teilmengen x mit xX ), hat P(X) also eine größere Mächtigkeit als X .


Beweis (durch Widerspruch):

(1) Angenommen, es gäbe eine bijektive Abbildung f von X auf P(X).
Dann ist für alle xX das Bild f(x) eine Teilmenge von X. Für gewisse xX gilt, dass x in f(x) liegt, wärend für andere Elemente xf(x) gilt.
(2) Der Trick des Beweises besteht darin, die Subjekte x mit xf(x) genauer unter die Lupe zu nehmen. Wir fassen diese zu einer Menge zusammen:
U:={xXxf(x)}.
Dann ist U ganz bestimmt eine Teilmenge on X, also eine Element von P(X). Da f eine bijektive Abbildung von X nach P(X) ist, gibt es also ein Element uX mit f(u)=U.
Für dieses u gilt - wie für jedes Element aus X - die Alternative, in U enthalten zu sein oder nicht.
(3) Ist uU, so muss u die definierende Eigenschaft der Menge U erfüllen, nämlich uf(u)=U. Also folgte aus uU die Tatsache uU, offenbar ein Widerspruch.
Daher bleibt nur die zweite Möglichkeit: uU. Wegen U=f(u), heißt dies uU. Das heißt aber, dass u die definierende Eigenschaft der Menge U erfüllt, daher muss auch uU gelten. Dies zeigt, dass auch diese Moeglichkeit nicht auftreten kann.
Deshalb ist die ursprüngliche Annahme, dass es eine bijektive Abbildung von X nach P(X) gibt, falsch. Damit ist der Satz bewiesen.
---------- END ---------

Insbesondere verstehe ich in (1) nicht, warum f(x) eine Teilmenge von X sein soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:29 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hallo,
was sind denn die Elemente von P(X)?
Gruß ermanus
nanal

nanal aktiv_icon

18:35 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Also so weit ich das verstanden habe, ist P(X) eine eigenständige Menge, wobei die Elemente (hier jedenfalls) nicht definiert sind. Da angenommen wird, dass es von X auf P(X) eine bijektive Abbildung gebe, müsste P(X) gleich so mächtig wie X sein. Aber ich glaube, das spielt hier keine Rolle, jedenfalls kann ich nicht erkennen dass f(X) eine Teilmenge von X ist.

Habe ich da etwa was übersehen?
Antwort
ermanus

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18:41 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Da steht aber doch deutlich, dass P(X) die Potenzmenge von X sein soll.
Sonst gibt das doch alles gar keinen Sinn.
nanal

nanal aktiv_icon

18:48 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Dann soll wohl f(X) eine (unechte) Teilmenge von (X) sein...

... aber dann kann man nicht wie in (1) behaupten, dass:
"Für gewisse x∈X gilt, dass x in f(x) liegt, wärend für andere Elemente x∉f(x) gilt."

*edit*
Insbesondere, da f(X) eine bijektive Abbildung von X auf P(X) sein soll.
nanal

nanal aktiv_icon

19:45 Uhr, 11.07.2019

Antworten
...es sei denn, dass Bijektivität nicht bedeutet, dass auch jedem Element der Urmenge unbedingt ein Element der Bildmenge zugeordnet werden muss. Dann hätte ich die Bijektivität falsch verstanden und das Ganze würde Sinn ergeben.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:51 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Ich verstehe dein Problem nicht.
Wenn f(x) eine Teilmenge von X ist,
kann diese x enthalten oder nicht enthalten.
Es muss also xf(x) oder xf(x) gelten.
Wir wollen zeigen, dass es keine Bijektion geben kann.
Ja, wir zeigen sogar, dass es nicht einmal eine surjektive Abbildung XP(X)
geben kann. Daher nehmen wir an, f wäre eine solche, und führen dies zum
Widerspruch.
nanal

nanal aktiv_icon

21:00 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Es ist wegen:
"Angenommen, es gäbe eine bijektive Abbildung f von X auf P(X).
Dann ist für alle x∈X das Bild f(x) eine Teilmenge von X. Für gewisse x∈X gilt, dass xf(x) liegt, wärend für andere Elemente x∉f(x) gilt."

Das "Dann..." ist irritierend. Ich dachte, es bezieht sich auf die Bijektivität.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:09 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hallo
wenn f(x) wie vorausgesetzt injektiv ist muss doch f(x) auf eine Teilmenge von X abbilden? denn X ist ja Element von P(X).
Gruß ledum
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:18 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Die Injektivität von f spielt im Beweis gar keine Rolle,
wichtig ist die Surjektivität.
Dass man immer eine injektive Abbildung g:XP(X) finden kann, ist klar
und führt natürlich nicht zu einem Widerspruch.
nanal

nanal aktiv_icon

21:06 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Vielen Dank erst mal dir, @ermanus, dafuer dass du so konstruktiv in meinem Thread geantwortet hast.

Ich glaube, dass ich den Beweis an sich verstanden habe, er ist nicht gerade einfach zu verdauen, jedenfalls nicht fuer mich.

Es bleibt fuer mich allerdings noch ein Raetsel, wie die Behauptung von (1) zustande kommt. Ich waere dankbar, wenn du mich da ein wenig erhellen koenntest.

Gruss, Nico
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:14 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Vielleicht ist dir nicht klar, dass
"X und P(X) sind gleichmächtig"
dasselbe bedeutet wie
"Es gibt eine Bijektion f:XP(X)".
Wenn man also die Gleichmächtigkeit zum Widerspruch führen möchte,
kann man die Existenz einer bijektiven Abbildung XP(X)
zum Widersprumch führen.
Gruß ermanus
nanal

nanal aktiv_icon

09:50 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Es ist mir schon klar, dass die Gleichmaechtigkeit von X und P(X) eine Bijektion zur Folge hat.
Aber wie kann dann die Menge dieser Bijektion f(x) eine Teilmenge von X sein? Muesste diese Menge nicht genau so maechtig sein wie die Menge X?

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:23 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Was verstehst du unter "die Menge dieser Bijektion f(x)" ?
Gruß ermanus
nanal

nanal aktiv_icon

11:40 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Also damit meine ich die Menge der Elemente, die die Bijektion f(x)X abbildet.

Ich hoffe, das ist so richtig forumuliert, ich bin naemlich nicht gerade in mathematischen Ausdrucksweisen versiert. Um ehrlich zu sein, ich habe nur relativ wenig mathematisches Grundwissen, da meine Schulzeit ca. 20 Jahre zurueck liegt. Ich habe zur Zeit nur gerade das Buch "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher in die Haende bekommen, das ich interessant zu lesen finde, wegen der vielen Beweise die darin aufgefuehrt werden. Und ich entschuldige mich auch fuer meine ausgeschriebenen Umlaute, da ich hier mit US-Tastatur tippe und zu faul bin, die Umlaute im Nachhinein zu korrigieren.

LG
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:26 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Hallo,
leider ist das ganz unverständlich ausgedrückt.
f ist eine Abbildung, die jedem xX ein Element
von P(X) zuordnet, d.h. für jedes xX
ist f(x) eine Teilmenge von X.
Hier ein Beispiel einer solchen Funktion:
Es sei X={1,2}, dann ist P(X)={,{1},{2},{1,2}}
ein f sieht dann z.B. so aus:
f(1)={2},f(2)={1,2} oder vielleicht so:
f(1)={1},f(2)= oder... oder...
Gruß ermanus
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