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Schätzer: Erwartungstreue und Konsistenz

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: erwartungstreu, konsistent, Schätzer, Schätzfunktion, schließende statistik, Zufallsvariablen

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06:12 Uhr, 18.02.2020

Hi,

ich habe keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll. Ein Ansatz wäre erstmal nett, auf die Lösung würde ich gerne von selbst kommen.

Gesucht seien Erwartungstreue und Konsistenz der folgenden Schätzer mit der ZV

X

{\hat{T}}_{1} = \frac{1}{2 (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n - 1} X_{i} + \frac{1}{2} X_{n}

{\hat{T}}_{2} = \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

{\hat{T}}_{3} = \frac{1}{2^{n}} \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) X_{i}

{\hat{T}}_{4} = \frac{1}{4} x_{n} + \frac{1}{2} x_{⌈ \frac{n}{2} ⌉} + \frac{1}{4} x_{n}

Mir ist zumindest schon einmal klar, dass für einen Schätzer

\hat{θ}

für den Parameter

θ

einer ZV gelten muss:

Erwartungstreue:

E (\hat{θ}) = θ

Konsistenz:

lim_{n \to \infty} V a r (\hat{θ}) = 0

Aber woher weiß ich denn jetzt nun bei dieser Aufgabenstellung die zugehörigen Parameter

θ

? Ich habe das Gefühl, da fehlt irgendwas bei der Aufgabenstellung. Kann das sein, zumal ich ja gar keine weiteren Infos über die ZV besitze? Dazu ist mir beim vierten Schätzer nicht klar, wie ich an der Stelle mit der Ceil-Funktion umgehen muss...

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:13 Uhr, 18.02.2020

Gegeben ist sicherlich, dass die Stichprobe

X_{1}, \dots, X_{n}

einer Grundgesamtheit mit Erwartungswert

θ

entstammt, d.h., es gilt

E (X_{k}) = θ

für alle

k = 1, \dots, n

. Mehr wird zur Prüfung der Erwartungstreue deiner vier Schätzer nicht benötigt.

Für die Konsistenz wird zusätzlich nur benötigt, dass diese Verteilung der Grundgesamtheit eine endliche Varianz besitzt, und dass die Zufallsgrößen

X_{1}, \dots, X_{n}

unabhängig sind - das ist ja eine Grundvoraussetzung an eine solche Stichprobe.

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14:32 Uhr, 18.02.2020

Hi,

muss ich dann also einfach den Erwartungswert meines

{\hat{T}}_{i}

unter der Voraussetzung, dass

E (X_{i}) = θ

gilt, mit meinem unbekannten

θ

gleichsetzen?

{\hat{T}}_{2} = \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

\Rightarrow E (\frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = θ

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{n E (X_{i})}{n + 1} = θ

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{n θ}{n + 1} = θ

\Rightarrow \frac{1}{n + 1} \neq \frac{1}{n} \Rightarrow

nicht erwartungstreu, oder wie?

Fühlt sich nicht richtig an...

HAL9000

15:19 Uhr, 18.02.2020

Sinngemäß ja, ich würde es nur anders aufschreiben: Einfach die Erwartungswerte der diversen Schätzer ausrechnen und dann überprüfen, ob diese gleich

θ

sind. Am Beispiel von

{\hat{T}}_{2}

E ({\hat{T}}_{2}) = E (\frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}) = \frac{n}{n + 1} θ

,

d.h.

E ({\hat{T}}_{2}) \neq θ

, und damit KEINE Erwartungstreue.

(Allerdings ist der Schätzer asymptotisch erwartungstreu, da ja

lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} θ = θ

gilt, danach hattest du aber nicht gefragt.)

> Dazu ist mir beim vierten Schätzer nicht klar, wie ich an der Stelle mit der Ceil-Funktion umgehen muss..

Das spielt keine Rolle: Es ist einfach ein

X_{k}

für die feste (d.h. nichtzufällige) Position

k = ⌈ \frac{n}{2} ⌉

, und damit auch nichts substanziell anderes als etwa

X_{1}

oder

X_{n}

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15:32 Uhr, 18.02.2020

Ist er nun erwartungstreu, gerade weil er asymptotisch erwartungstreu ist oder ist er es nicht, weil die Gleichung nicht aufgeht? Oder wären beide Lösungen mit hinreichender Begründung richtig?

Das mit der asymptotischen Erwartungstreue ist mir übrigens neu, noch nie von sowas gehört... Wann erkenne ich denn, dass sich etwas asymptotisch verhält -- wenn mit größer werdendem n einfach der Faktor immer kleiner wird?

Vielen Dank

HAL9000

15:34 Uhr, 18.02.2020

Nochmal:

{\hat{T}}_{2}

ist NICHT erwartungstreu, sondern nur asymptotisch erwartungstreu.

Das sind zwei verschiedene Begriffe: Aus Erwartungstreue folgt immer auch asymptotische Erwartungstreue, aber (wie eben gesehen) die Umkehrung gilt i.a. nicht.

> Das mit der asymptotischen Erwartungstreue ist mir übrigens neu, noch nie von sowas gehört..

Dann vergiss, dass ich es erwähnt habe. Man kann aber auch nicht mal die kleinste Bemerkung über den Tellerrand hinaus machen, ohne dass gleich ein Sturm des Missverständnisses bzw. der Missinterpretationen losbricht. :(

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15:53 Uhr, 18.02.2020

Nein, hier wird nichts vergessen :-D) Keine sorge, du hast auch kein Sturm von irgendwas ausgelöst - Du hast nur meine Neugierde geweckt

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15:59 Uhr, 18.02.2020

Aber ist denn meine Annahme hinsichtlich des asymptotischen Verhaltens jetzt korrekt?

HAL9000

16:10 Uhr, 18.02.2020

> Aber ist denn meine Annahme hinsichtlich des asymptotischen Verhaltens jetzt korrekt?

Welche Annahme? Ich lese da nur

> Ist er nun erwartungstreu, gerade weil er asymptotisch erwartungstreu ist

und das habe ich klar verneint.

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16:11 Uhr, 18.02.2020

Ich schrieb: "Wann erkenne ich denn, dass sich etwas asymptotisch verhält -- wenn mit größer werdendem n einfach der Faktor immer kleiner wird?"

NoFearOfFainting aktiv_icon

16:20 Uhr, 18.02.2020

Ach der wird ja gar nicht kleiner, der nähert sich ja

1

an... Den faktor

\frac{n}{n + 1}

vor dem

θ

meinte ich. Und mit größerem

n

nähert er sich ja

1

an und damit strebt

\frac{n}{n + 1} \cdot θ

gegen

θ

, right?

HAL9000

16:20 Uhr, 18.02.2020

"Asymptotisch verhält" ist für mich eine nichtssagende Formulierung, sowas blende ich beim Lesen gleich mal aus.

Betrachte einfach

E (\hat{T})

für Stichprobenumfang

n \to \infty

, d.h., ob das konvergiert, und falls ja, wogegen. Wenn es eben gegen

θ

konvergiert, dann nennt man das eben "asymptotisch erwartungstreu". Wenn natürlich direkt Erwartungstreue vorliegt, d.h.

E (\hat{T}) = θ

für JEDES

n

, dann hat diese konstante Folge selbstverständlich auch den Grenzwert

θ

, da ist also die simple Begründung dafür, dass aus Erwartungstreue auch immer asymptotische Erwartungstreue folgt.

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