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Schafkopfaufgabe (Warscheinlichkeitsrechnung)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Kombinatorik

Stochastik

Tags: Kombinatorik, Stochastik

Simon18 aktiv_icon

16:37 Uhr, 27.03.2016

Guten Tag liebe Community,
ich mache zurzeit einen Selbsttest (Stochastik) als Vorbereitung für mein Abitur und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Beim Schafkopf werden

32

Karten auf vier Spieler

A, B, C, D

verteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt
1. einer der Spieler alle Ober,
2. jeder Spieler einen Ober,
3. ein beliebiger Spieler lauter Karten gleicher Farbe?

Allein schon bei der ersten Teilaufgabe komm ich nicht mehr weiter. Die Lösungen stehen zwar schon mit dabei, aber ich verstehe nicht den Gedankengang und den Rechenweg bei solchen Aufgaben. Mein erster Gedanke bei Teilaufgabe 1 war, dass ich rechne

4 x (\frac{4}{32} x \frac{3}{31} x \frac{2}{30} x \frac{1}{29}) = 0,0001

. Somit hätte ich doch die Warscheinlichkeit für das Ziehen aller 4 Ober unabhängig davon welcher Spieler die Ober bekommt. (Dachte ich zumindest)
Die Lösungen sagen aber, dass man bei 1. am Schluss

0,0078

heraus bekommt. Der Rechenweg ist ein langer Bruch mit dem Zähler 4x(4über4)x(28über4) etc. und im Nenner (32über8)x(24über8) etc.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Danke im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

supporter aktiv_icon

17:19 Uhr, 27.03.2016

1)

Alle 4 Ober

= (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})

-Möglichkeiten
für die restlichen 4 Karten gilt:

(\begin{matrix} 28 \\ 4 \end{matrix})

-Möglichkeiten
Möglichkeiten insgesamt

= (\begin{matrix} 32 \\ 8 \end{matrix})

Da jeder der 4 Spieler diese Möglichkeit hat, muss mit 4 multipliziert werden.

Roman-22

19:48 Uhr, 27.03.2016

Wie immer führen mehrere Wege zum Ziel - auch der deine.
Den Ausdruck in deiner Musterlösung hat dir supporter ja bereits zu erklären versucht.

Nun also zu deinem Ansatz:
Was du berechnet hast (der Ausdruck in der Klammer) ist die WKT dafür, dass vier bestimmte Karten des aus 8 Karten bestehenden Blattes die Ober sind. Also zB dass die ersten vier ausgeteilten Karten bereits die Ober sind.
In Wahrheit ist es aber egal, welche vier der acht Karten die Ober sind.
Du musst dein Ergebnis also nur noch mit der Anzahl der Möglichkeiten, die vier "Ober-Plätze" in dem 8-Karten-Blatt zu wählen, multiplizieren und bist auch schon beim richtigen Ergebnis:

4 \cdot \frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31} \cdot \frac{2}{30} \cdot \frac{1}{29} \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7}{899} \approx 0,779 %

Dass man mit

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70

die Anzahl der Möglichkeiten, aus acht Elementen vier zu wählen, berechnet, ist dir doch bekannt, oder?

\to

"Kombination ohne Wiederholung"

R

Simon18 aktiv_icon

20:13 Uhr, 27.03.2016

Ah ok super! Ich habs gecheckt! Danke euch beiden!

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