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Schattenaufgabe mit zwei Pyramiden

Schüler

Tags: Ebenengleichung, Geradengleichung, Pyramide, schatten, Schattenfläche, Sonnenstrahlen

muskelkater

12:02 Uhr, 05.08.2014

Hallo Leute,
ich brauche eure Hilfe zu folgender Aufgabe!

Gesucht ist der Schatten, den eine Pyramide auf eine zweite Pyramide wirft. Die Eckpunkte der ersten Pyramide sind:

A (- 3 / 3 / 0), B (3 / 3 / 0), C (3 / - 3 / 0), D (- 3 / - 3 / 0)

und

S (0 / 0 / 5)

. Die Eckpunkte der zweiten Pyramide sind:

E (- 5 / - 10 / 0), F (- 5 / - 6 / 0), G (- 9 / - 6 / 0), H (- 9 / - 10 / 0)

und

T (- 7 / - 8 / 3)

.
Die Richtung der Sonnenstrahlen ist durch

\vec{v} = (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

gegeben.
Zeichnen Sie das Schrägfeld der beiden Pyramiden und der Schattenfläche.

Sooooo:

Pyramiden habe ich in ein Koordinatensystem eingetragen und jetzt wollte ich den Schattenpunkt

(S')

von

S

auf der hinteren Pyramide bestimmen. Jedoch sind zwei Seiten der hinteren Pyramide mir zugewandt, sodass ich nicht genau weiß, auf welcher Seitenfläche der hinteren Pyramide der Schattenpunkt

S'

erscheint. Ich habe daher einfach erstmal die Schnittpunkte des Sonnenstrahls (durch

S)

mit den Ebenen der zwei Pyramidenseiten errechnet.

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

E : 72 = - 12 y - 8 z

\Rightarrow

erster möglicher Schnittpunkt

S' (- 5,42 / - 7,23 / 1,84)

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

E : - 60 = 12 x - 8 z

\Rightarrow

zweiter möglicher Schnittpunkt

S' (- 2,73 / - 3,64 / 3,41)

Aber woher weiß ich jetzt welcher Schnittpunkt

S'

tatsächlich auf der Pyramide liegt? Ich habe ja hier nur Schnittpunkte mit Gerade und Ebene bestimmt. Aber ich brauche ja den Punkt in einer "abgegrenzten" Ebene

. .

.

Wäre toll, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte :-)
Danke dafür schonmal jetzt

Gruß
muskelkater

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Bummerang

13:00 Uhr, 05.08.2014

Hallo,

die Pyramidenseiten sind Dreiecke. Nimm eine Ecke als Ausgangspunkt und ermittle die beiden Vektoren zu den beiden anderen Punkten. Jetzt solltest Du wissen, dass die Punkte der Dreiecksseite, die dem zuerst gewählten Eckpunkt gegenüberliegt, eine Linearkombination aus den beiden Vektoren ist mit der Eigenschaft, dass die Linearfaktoren in der Summe 1 ergeben. Die Punkte innerhalb der Dreiecksfläche können durch Linearfaktoren dargestellt werden, deren Linearfaktoren in der Summe eine Zahl kleiner als 1 ergeben. Also nimm Deine Schnittpunkte und stelle sie als Linearkombination zweier Vektoren zu zwei Dreiecksseiten dar und addiere die errechneten Linearfaktoren!

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08:47 Uhr, 06.08.2014

Die Ebene, die du braucht für

S'

ist mit einem Vorzeichenfehler behaftet.
Das korrigiert gibt schönere Koordinaten für

S'

. Siehe meine Notitzen in Grafik.

muskelkater

11:27 Uhr, 06.08.2014

Danke euch beiden für die zwei Hinweise :-)

Ich werde die Aufgabe die nächsten Tage bearbeiten, da es bei mir relativ stressig ist. Also nicht wundern, wenn ich mich nochmal melde ;-)

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14:45 Uhr, 06.08.2014

Und hier meine Konstruktion.
Der Schatten, wie er auf den Boden fallen würde ist ersichtlich. Auf die rechte Schrägfläche der Pyramide wird's kompliziert.

muskelkater

13:40 Uhr, 20.08.2014

ich bin's wieder :-)

nachdem ich freundlicher weise auf meine fehler hingewiesen wurde, habe ich nun erneut die mgl. Schnittpunkte errechnet:

E : - 12 x - 12 y = 180

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

\Rightarrow

gleichsetzen:

S' (- 6,4 / - 8,6 / 1,3)

E : 12 x + 8 z = - 60

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

\Rightarrow

gleichsetzen:

S' (- 6 / - 8 / 1,5)

lieg ich da jetzt erstmal richtig?

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14:09 Uhr, 20.08.2014

Ja und da brauchst du Variante

2,

wie du in meiner Konstruktion auch erkennen kannst.

muskelkater

15:56 Uhr, 20.08.2014

Ok, alles klar.

Ich habe nun auch

S' (- 6 / - 8 / 1,5)

auf der Pyramidenfläche als Punkt berechnen können. Quasi, ob der punkt zur Pyramidenseite gehört. Hat auch wunderbar geklappt.

Aber nun habe ich es mit

S' (- 6,4 / - 8,6 / 1,3)

auch probiert, ob dieser Punkt auf der anderen Pyramidenseite liegt

...

. und irgendwie gehört er auch zur Pyramidenseite?! (sh. Anhang)

Was habe ich da falsch gemacht?

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16:18 Uhr, 20.08.2014

Du hast wohl nur geprüft ob er in der Ebene FGT liegt, und das ist nicht gleich im Dreieck FGT liegen.
Im Anhang hab ich dir gerechnet ob der 2. Punkt im Dreieck EFT liegt.
Er muss links von EF, links von FT und links von TE liegen.
Wenn du das Kreuzprodukt einer solchen Seite mit ES' bildest, entsteht ein positives Vielfaches oder Einfaches des Normalenvektors

n

von der Dreiecksebene, wenn

S'

links des Seitenvektors liegt.
Das mit allen 3 Seiten gemacht (Umlaufsinn beachten)und jedesmal ein positives Vielfaches des

n

erhalten bedeutet dass der Punkt

S'

in der Dreiecksfläche liegt.

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16:27 Uhr, 20.08.2014

Entschuldigung
Ich hab deinen Anhang erst jetzt gesehen, wo du die Prüfmethode von Bummerang anwendest.
Das sieht auf den ersten Blick ok aus.

Aber ich kann das noch nicht ganz beurteilen.

Mach mal meine Methode für dein erstes

S'

im Dreieck FGT

Ich trau meinem Geogebra, womit ich das ganze konstruiert habe. Dort ist klar, dass

S'

im Dreieck EFT liegt.

muskelkater

16:46 Uhr, 20.08.2014

Ok, habe nun mit deinem Vorschlag geprüft ob S′(−6,4//−8,6//1,3) auf der Pyramidendreiecksfläche liegt. Nach meiner Rechnung liegt er nicht drauf :-D)

Danke dir!

PS: Hat das Verfahren irgendeinen Namen?

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16:47 Uhr, 20.08.2014

Grad hab ich im GEOGEBRA die Ebene FGT berechnen lassen.

3 y + 2 z = - 18

korrigiert!

Stimmt das mit deiner Ebene überein?
Das was du oben als

E:−12x−12y=180 angegeben hast, wäre zumindest sehr verschieden.

muskelkater

17:00 Uhr, 20.08.2014

du hattest recht. Ich habe mich verrechnet. Allerdings auf was anderes

⊙ O

vec(FT)=((-2),(2),(3))
vec(FG)=((-4),(4),(0))

(\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \\ - 12 \\ 0 \end{matrix})

- 12 x - 12 y = d

F (- 5 / - 6 / 0)

einsetzen

- 12 \cdot (- 5) - 12 \cdot (- 6) = d

132 = d

\Rightarrow - 12 x - 12 y = 132

????? ich bin verwirrt!

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17:17 Uhr, 20.08.2014

Hast du bei FG die richtigen Koordinaten von

G

genommen?
Nach mit wäre FG

(- 4,0,0)

Die

y

und

z

Koordinaten von

F

und

G

sind ja gleich

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17:19 Uhr, 20.08.2014

Ich glaube nicht, dass mein Verfahren einen Namen hat.
In diesem Forum ist schon Stundenlang diskutiert worden über:

Liegt der Punkt im Dreieck?

Vielleicht suchst du mal danach?

muskelkater

17:22 Uhr, 20.08.2014

ja, du hast recht. bin in der zeile verutscht

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18:56 Uhr, 20.08.2014

Alles ok. bei Dir?

muskelkater

19:01 Uhr, 20.08.2014

ich komm gar nicht mehr klar

...

. ich habe immer irgendwo einen hänger drinne

: - (

S' (- 6 / - 8 / 1,5)

ist klar und habe ich genauso - auch die probe.

Nun zum zweiten mögl. Schnittpunkt:

Die Gerade der Sonnnenstrahlen ist klar:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 12 \\ - 16 \\ - 7 \end{matrix})

Aber die Ebene.....

vec(FT)=

(\begin{matrix} - 7 \\ - 8 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 5 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

vec(FG)=

(\begin{matrix} - 9 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 5 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot (- 4) - 0 \cdot (- 2) \\ - 2 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 12 \\ - 8 \end{matrix})

dann einsetzen in ax+by+cz=d

- 12 y - 8 z = d

dann

F (- 5 / - 6 / 0)

einsetzen

- 12 \cdot (- 6) - 8 \cdot 0 = d

d = 72

durch 4 teilen

3 y + 2 z = - 18

jetzt alles ohne Fehler korrekt?

dann

g

und

E

gleichsetzen:

S' (- 5,4 / - 7,2 / 1,8)

jetzt überprüfen, ob

S'

im Dreieck liegt:

FS'=

r \cdot

+ s \cdot

(\begin{matrix} - 0,4 \\ - 1,2 \\ 1,8 \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

3.Zeile:

1,8 = 0 r + 3 s \to s = 0,6

s

in Zeile 1 einsetzen

- 0,4 = - 4 r - 2 s

- 0,4 = - 4 r - 1,2 | + 1,2

0,8 = - 4 r

r = - 0,2

s + r = 0,4

aber

0,4 < 1

also müsste es im Dreieck liegen, und somit ein Schattenpunkt sein. Tut es aber laut Femat's Programm aber nicht

: (

ich bin echt irritiert

könntet ihr vllt. meinen Fehler ausfindig machen

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20:01 Uhr, 20.08.2014

Ich habs mal mit meiner Methode geprüft. Im zweiten Fall ist es kein Vielfaches und im dritten kein positives Vielfaches.

Also liegt der Punkt nicht drin.

Die Methode von Prodomo ist mir nicht so vertraut. Vielleicht muss es von den anderen 2 Punkten aus auch stimmen. Das könntest ja mal versuchen.

muskelkater

20:11 Uhr, 20.08.2014

eine Frage: Was ist M?

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20:23 Uhr, 20.08.2014

Ich weiss nicht wo und in welchem Zusammenhang meinst du?

muskelkater

21:38 Uhr, 20.08.2014

in deiner rechnung

\to

vielfaches von

M

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08:44 Uhr, 21.08.2014

Das ist kein

M

sondern ein Vektor

\vec{n}

gemeint ist der Normalenvektor der Ebene.
Bei "meiner Methode" muss ja das Kreuzprodukt von Seitenvektor und Vektor zu

S'

immer ein positives Vielfaches von

\vec{n},

dem Normalenvektor sein, damit

S'

im Dreieck liegt.
Und das muss von allen drei Seiten aus gelten.

muskelkater

12:31 Uhr, 21.08.2014

ok, alles klar. danke.

ich habe mich mal zum weiteren Lösen der Aufgabe durchgerungen.
Schattenpunkt von

S

habe ich ja nun. Dann habe ich die Knickpunkte des Schattens an der zweiten Pyramide berechnet:

K 1 (- 5 / - 8,8 / 0)

und

K 2 (- 6,5 / - 6 / 0)

das sind ja die Knickpunkte am Boden, aber es gibt doch noch einen Knickpunkt auf der Pyramide?! und zwar auf der Pyramidenseitenkante, oder? aber wie berechne ich den?

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18:26 Uhr, 21.08.2014

Ich würd die Ebene ASK mit der Kante FT schneiden, so projizierst du quasi die Kante AS auf die kleine Pyramide.

In der Grafik stimmen die Koordinaten nicht mehr ganz genau. Hat mir was verschoben.