Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Scheitelpunkt ermitteln

Scheitelpunkt ermitteln

Schüler

Tags: Die Parabel f sei aus der Normalparabel durch Verschiebung entstanden. Sie schneidet die Achsen an d

Nick144 aktiv_icon

16:19 Uhr, 20.09.2024

Die Parabel

f

sei aus der Normalparabel durch Verschiebung entstanden. Sie schneidet die Achsen an den gleichen Stellen wie die Gerade y=2x-5.Wo ist der Scheitelpunkt der Parabel?

Ich kann die beiden Koordinaten der Schnittpunkte ausrechnen. Aber wie komme ich zu dem Scheitelpunkt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Messe687 aktiv_icon

16:53 Uhr, 20.09.2024

Hey,

du kannst deine Normalparabel in zwei Richtungen verschieben:

f (x) = x^{2}

wird zu

f (x) = (x - a)^{2} + b

wobei

a

die Verschiebung in x-Richtung und

b

die Verschiebung in f(x)-Richtung ist.

Wenn du jetzt deine Schnittpunkte in die Gleichung

f (x) = (x - a)^{2} + b

einsetzt, erhältst du zwei Gleichungen und hast zwei Unbekannte

a

und

b

.

Das Gleichungssystem kannst du lösen. um

a

und

b

zu bekommen.
Wenn du dann in

f (x) = (x - a)^{2} + b

deine ausgerechneten

a

und

b

einsetzt, erhältst du die Formel deiner verschobenen Normalparabel.

In die erhaltene Formel musst du für

x

einfach

0

einsetzten und du erhältst den Scheitelpunkt.

Falls du noch Fragen hast melde dich gerne

Felix

Nick144 aktiv_icon

19:20 Uhr, 20.09.2024

Hallo,
vielen Dank. Noch eine Frage dazu:

f(x)=(x−a)²

+ b :

Ist das eine Grundformel für Verschiebungen in x-Richtung?

Vielen Dank!

Atlantik aktiv_icon

21:01 Uhr, 20.09.2024

y = a x^{2} + b x + c

Bei Normalparabel wird

a = 1

y = x^{2} + b x + c

Die Gerade

y = 2 x - 5

schneidet in

A (0 | - 5)

und

B (2,5 | 0)

die beiden Achsen

A (0 | - 5)

1 .) c = - 5

B (2,5 | 0)

0 = 6,25 + 2,5 b - 5

2 .) b = - 0,5

y = x^{2} - 0,5 x - 5

Nullstellen:

x^{2} - 0,5 x - 5 = 0

x_{1} = - 2

x_{2} = 2,5

Der Scheitelpunkt liegt "in der Mitte" der beiden Nullstellen:

x_{s} = \frac{- 2 + 2,5}{2} = 0,25

y_{S} = {0,25}^{2} - 0,5 \cdot 0,25 - 5 = - 5,0625

Zeichnung:

Messe687 aktiv_icon

21:40 Uhr, 20.09.2024

Nochmal zu deiner Frage:

Ja genau

(x - a)^{2}

ist die Formel zur Verschiebung in x-Richtung.

Das kannst du übrigens für alle Funktionen

f (x)

anwenden. Wenn du

f (x)

a

in die x-Richtung und

b

in die y-Richtung verschieben willst, kannst du einfach

f (x - a) + b

nehmen.

Dabei gilt für

a, b > 0

f (x) + b

bedeutet f(x) wird um

b

nach oben verschoben.

f (x) - b

bedeutet f(x) wird um

b

nach unten verschoben.

f (x + a)

bedeutet f(x) wird um

a

nach links verschoben.

f (x - a)

bedeutet f(x) wird um

a

nach rechts verschoben.

Falls du das nochmal genauer zur Normalparabel durchlesen willst, habe ich hier einen guten Link gefunden mit Beispielen: www.studienkreis.de/mathematik/normalparabel-verschiebungen

Ich hoffe die Erklärung hilft dir weiter

Felix

KL700 aktiv_icon

08:54 Uhr, 21.09.2024

Schnittstellen der Geraden:

x-Achse:

2 x - 5 = 0

x = 2,5 \to S (2,5 | 0)

y-Achse:

y (0) = 2 \cdot 0 - 5 = - 5 \to S (0 | - 5)

f (x) = {(x - a)}^{2} + b

f (2,5) = 0

f (0) = - 5

{(2,5 - a)}^{2} + b = 0

6,25 - 5 a + a^{2} + b = 0

{(0 - a)}^{2} + b = - 5

a^{2} + b = - 5

b = - 5 - a^{2}

\to 6,25 - 5 a + a^{2} - 5 - a^{2} = 0

5 a = 1,25

a = 0,25

\to b = - 5 - {0,25}^{2} = 5,0625

f (x) = {(x - 0,25)}^{2} - 5,0625

HAL9000

17:39 Uhr, 21.09.2024

Das gesuchte

f (x)

sowie

g (x) = 2 x - 5

stimmen an den Stellen

x = 0

sowie

x = \frac{5}{2}

überein, d.h. diese beiden Stellen sind Nullstellen der Differenz

f (x) - g (x)

, und diese Differenz ist ein quadratisches Polynom. Da dessen Leitkoeffizient gleich 1 sein muss, ergibt sich unmittelbar die Linearfaktorzerlegung der Differenz

f (x) - g (x) = (x - 0) (x - \frac{5}{2})

und folglich

f (x) = x^{2} - \frac{5}{2} x + 2 x - 5 = x^{2} - \frac{1}{2} x - 5

.

Wie man von da zur Scheitelpunktform kommt, ist Geschmackssache (z.B. quadratische Ergänzung).

Nick144 aktiv_icon

14:24 Uhr, 22.09.2024

Vielen Dank für die Antworten und auch für den Link, der mir sehr weiterhilft.

1587959

1587921

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?