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Scheitert es hier nicht schon am Induktionsanfang?

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Tags: Vollständig Induktion

 
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Reykja

Reykja aktiv_icon

11:10 Uhr, 13.10.2020

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Vorweg einmal die Angabe:

Wo steckt der Fehler im Induktions-"Beweis“ der folgenden Behauptung:

Je zwei natürliche Zahlen a,b sind gleich groß.
Beweis: Vollst. Induktion nach dem max{a,b}
a)max{a,b}=0: Hier gilt a=b=0
b) Die Behauptung gelte für max{a,b}=n

Sei nun max{a,b}=n+1. Dann ist max{a-1,b-1}=n und es folgt aus der Induktionsvoraussetzung b), dass a-1=b-1 ist, womit aber auch a=b gilt.

nun zum Ansatz:
wenn der Induktionsanfang max{a,b}=n→a=b=n, dann ist der Induktionsschritt

max{a,b}=n+1
→max{a+1,b+1}=n+1→ Folgerung a=b wahr
→max{a,b+1}=n+1→ Folgerung a=b falsch
→max{a+1,b}=n+1→ Folgerung a=b falsch

sprich es gilt also nicht in allen Fällen. Bin mir aber nicht ob das so stimmen kann.

LG
Reykja



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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:24 Uhr, 13.10.2020

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Es reicht ja schon den Fall max{a,b}=1 zu betrachten um zu sehen, dass der Beweis nicht funktioniert.
Wenn max{a,b}=1, dann kann man zwar auf max{a-1,b-1}=0 zurückgreifen, daraus folgt aber nicht, dass a=b, denn es kann z.B. a=1 und b=0 sein.
Der Fehler ist im Grunde in der Tatsache versteckt, dass max{a,b}=0 =>a=b nur dann gilt, wenn a,b≥0. Aber wenn man a-1 und b-1 betrachtet, können beide doch negativ sein.
Frage beantwortet
Reykja

Reykja aktiv_icon

11:39 Uhr, 13.10.2020

Antworten
Danke für die ausführliche Antwort!

LG
Reykja