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Schema für Zeigen Sie Injektiv/Surjektiv/Bijektiv

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Tags: Funktion

 
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barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

20:42 Uhr, 25.02.2012

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Guten Abend,

es ist zu zeigen, ob diese Funktion Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv ist.

Zunächste habe ich verstanden, dass für die Begriffe das folgende gilt:

Injektiv: f(x)=f(y) => x=y
Surjektiv: f(A)= B für f:A→B
Bijektiv: Injektiv und Surjektiv

Leider habe ich oftmals Probleme dies in einer konkreten Aufgabe zu zeigen. Da man dies aber oft tun müssen, würde ich gern wissen, ob es typische Wege gibt dies zu zeigen.

Konkrete möchte ich dies an folgender Funktion zeigen:

f:ℝ→ℝ
f:x→x3+x-7

1. ich würde vermuten, dass diese Funktion injektiv ist. Meine Begründung fußt aber auf Probieren und scharfem Hinsehen bzgl der Monotonie.

2. auch hier, mneine Vermutun gdas es war ist. auch hier würde ich prinzipiell mit der Monotonie argumentieren.

3. folglich nicht, da weder injektiv noch surjektiv.

Mir ist das zu viel Vermutung und wenig konkrete Zahlen.

habt ihr ein paar Tips zum Lösen solcher Aufgaben, die mathemisch Formal anschaulicher sind oder reicht dieses Beobachten und Beschreiben aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

23:09 Uhr, 25.02.2012

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(Strenge) Monotonie ergibt sich aus de Ableitung 3x2+1>0 und aus (strenger) Monotonie folgt auch Injetivität.
Man kann auch direkt zeigen:
f(x)=f(y)⇔x3+x-7=y3+y-7⇔x3-y3+x-y=0⇔(x-y)⋅(x2+xy+y2+1)=0.
Wenn xy≥0, haben wir x2+xy+y2=(x-y)2+3xy≥0, und wenn xy≤0, haben wir x2+xy+y2=(x+y)2-xy≥0. Auf jeden Fall ist also der zweite Faktor ≥1, mithin muss der erste Faktor =0 sein, d.h. x=y.

Für die Surjektivität ist auch noch wichtig, dass f stetig ist:
Sei y∈ℝ gegeben. Mit x1:=-|y| ist dann f(x1)=-|y|3-|y|-7<-|y| und mit x2:=|y|+7>0 ist f(x2)=x23+x2-7>|y|. Laut Zwischenwertsatz wird also auch der zwischen f(x1) und f(x2) liegende Wert y angenommen.

Bei 3. meinst du wohl: bijektiv, weil sowohl injektiv als auch surjektiv.
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