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Schlimme Textaufgabe mit Funktionen ohje ohje

Schüler

Tags: Funktion 2. Grades

marinalove aktiv_icon

21:50 Uhr, 21.08.2011

So, habe noch eine Aufgabe, die ich heute irgendwie gelöst kriegen muss. Wäre super, wenn sich meiner jemand annimmt und das mit mir zusammen macht, weil ich wiedermal absolut Chinesisch hier vor mir habe...

a)

Ein Auto verliert im Laufe eines Jahres

12 %

an Wert. Wann ist das Auto nur noch ein Viertel des Kaufpreises wert?

b)

Eine Algenart wächst so stark, dass sich die Menge innerhalb von

15

Jahren verdoppelt. Um wie viel Prozent wachsen die Algen pro Jahr?

c)

Der radioaktive Zerfall einer Substanz mit einer Halbwertszeit von 8 Stunden erfolgt nach der Zerfallsfunktion

f : x \to 100 e

^kx

Dabei ist

x

die Zeit in Stunden,

k

die sogenannte Zerfallskonstante und

f (x)

die Masse der nach der Zeit

x

verbleibenden Menge der Substanz in Milligramm.

Bestimmen Sie
- die Anfangsmenge der Substanz zu Beginn des Zerfalls
- die Zerfallskonstante

k

und
- die Menge der radioaktiven Substanz, die nach drei Tagen noch vorhanden ist.

Totalkatastrophe.

: (

Ich bitte um Hilfe.

michael777 aktiv_icon

21:55 Uhr, 21.08.2011

a)

Anfangswert:

W_{0}

Wert nach

n

Jahren:

W_{n} = {(1 - \frac{12}{100})}^{n} \cdot W_{0}

Wert beträgt noch

\frac{1}{4}

des Anfangswerts:

{0,88}^{n} \cdot W_{0} = \frac{1}{4} \cdot W_{0}

unabhängig von

W_{0}

{0,88}^{n} = \frac{1}{4}

n = \frac{log (\frac{1}{4})}{log (0,88)} = 10,84

also nach

11

Jahren

marinalove aktiv_icon

21:58 Uhr, 21.08.2011

Da wäre ich nie drauf gekommen...

: (

Danke dir vielmals! Wenn sowas in meiner Abiprüfung drankommt, hab ich echt ein Problem. Kannst du mir vielleicht bei den anderen auch helfen??

michael777 aktiv_icon

21:59 Uhr, 21.08.2011

b)

Verdoppelung nach

n = 15

Jahren:

B_{15} = 2 \cdot B_{0}

pro Jahr:

B_{n} = q^{n} \cdot B_{0}

Berechnung des Wachstumsfaktors

q :

B_{15} = q^{15} \cdot B_{0}

und

B_{15} = 2 \cdot B_{0}

2 \cdot B_{0} = q^{15} \cdot B_{0}

2 = q^{15}

q = \sqrt[15]{2} = 1,04729

das entspricht einem jährlichen Wachstum von

4,729 %

michael777 aktiv_icon

22:05 Uhr, 21.08.2011

c)

f (x) = 100 \cdot e^{k \cdot x}

x

in Stunden
Halbwertszeit von 8 Stunden,

d . h

. nach 8 Stunden hat man die Hälfte vom Anfang also

f (8) = \frac{1}{2} f (0)

f (0) = 100 =

Anfangsmenge

f (8) = \frac{1}{2} \cdot f (0) = 50

eingesetzt:

50 = 100 \cdot e^{k \cdot 8}

\frac{1}{2} = e^{8 k}

ln (\frac{1}{2}) = 8 k

k = \frac{1}{8} \cdot ln (\frac{1}{2}) = - 0,08664 .

. = Zerfallskonstante

nach 3 Tagen

= 3 \cdot 24 h \Rightarrow x = 72 (x

muss immer in Stunden eingesetzt werden, siehe oben)

f (72) = 100 \cdot e^{- 0,08664 \cdot 72} = 0,2

marinalove aktiv_icon

22:09 Uhr, 21.08.2011

Alles super, vielen vielen Dank, muss ich mir durchlesen und werde versuchen ob ich das auch verstehe.
Jetzt noch Folgendes, ich habe zwei Brüche und soll nicht nur deren Definitionsmenge, sondern auch herausfinden, ob es sich um Polstellen oder hebbare Definitionslücken handelt (was ist das eigentlich?).

f : x \to x

geteilt durch

1 + 5 x

und

g : x \to x + 2

geteilt durch

x^{2} + x - 2

Als Definitionsmenge hab ich beim ersten

\frac{1}{5}

raus und beim zweiten 2 und

- 3,

habe jweils den Nenner null gesetzt und nach

x

aufgelöst, bzw. bei der Zweiten mit der pq-Formel gearbeitet. Stimmt das so?

Weiter weiß ich allerdings nicht!

michael777 aktiv_icon

22:13 Uhr, 21.08.2011

bei

\frac{1}{5}

wird der Nenner nicht null
du hast das Minuszeichen vergessen
der Nenner wird bei

- \frac{1}{5}

null

zum ersten Bruch:

f (x) = \frac{x}{1 + 5 x}

Nenner ist

0,

wenn

x = - \frac{1}{5}

somit Definitionsmenge

D = R

ohne

{- \frac{1}{5}}

Nullstelle, wenn der Zähler null ist und der Nenner bei dem x-Wert ungleich 0
Nullstelle bei

x = 0

Polstelle, wenn der Nenner null ist und der Zähler bei dem x-Wert ungleich 0 ist
Polstelle für

x = - \frac{1}{5}

im Schaubild: senkrechte Asymptote

x = - \frac{1}{5}

hebbare Lücken gibts, wenn für ein x-Wert sowohl der Zähler als auch der Nenner null ist, dann hat man weder eine Null- noch eine Polstelle

michael777 aktiv_icon

22:18 Uhr, 21.08.2011

wie bist du auf 2 und

- 3

gekommen?
bei diesen Werten wird der Nenner nicht null

zweiter Bruch:

g (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + x - 2}

zunächst den Nenner faktorisieren durch Anwenden der pq-Formel:

x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}

x_{1} = 1

x_{2} = - 2

die Funktion lässt sich umschreiben:

g (x) = \frac{x + 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}

Definitionsmenge

D = R

ohne

{- 2; 1}

bei

x = - 2

ist sowohl der Zähler als auch der Nenner null
hier hat man also eine hebbare Definitions-Lücke (keine Nullstelle, keine Polstelle!)

bei

x = 1

ist der Nenner null und der Zähler ungleich null
hier hat man eine Polstelle

marinalove aktiv_icon

22:32 Uhr, 21.08.2011

Okay, das verstehe ich, das ist super!! :-)
Jetzt hab ich noch ne Asymptotenuntersuchung, bei denen ich die Geradegleichung der Asymptoten angeben soll:

f : x \to 6 x^{2} - 1

geteilt durch

3 x^{2} + 1

und

g : x \to 2 x^{2} - 1

geteilt durch

x + 1

Und die Extrempunktbestimmung mit Hilfe des Kirteriums der zweiten Ableitung, die ich bisher auch nur bei ganzrationalen gemacht habe:

f : x \to x^{2}

geteilt durch

x - 1

und

g : x \to 2 - x^{3}

geteilt durch

2 x

uff

: (

michael777 aktiv_icon

22:49 Uhr, 21.08.2011

f (x) = \frac{6 x^{2} - 1}{3 x^{2} + 1}

Zählergrad=Nennergrad (im Zähler und Nenner ist jeweils

x^{2}

höchste Potenz)
es gibt hier eine waagrechte Asymptote

y = \frac{6}{3} = 2

g (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x + 1}

hier ist der Zählergrad um genau 1 größer als der Nennergrad
es gibt hier eine schiefe Asymptote
Gleichung durch Polynomdivision

2 x^{2} - 1 : (x + 1) = 2 x - 2

- (2 x^{2} + 2 x)

- - - - - -

- 2 x - 1

- (- 2 x - 2)

- - - - - -

g (x) = 2 x - 2 + \frac{1}{x + 1}

Asymptote:

y = 2 x - 2

für

x

gegen unendlich wird

\frac{1}{x + 1}

vernachlässigbar klein

zum zweiten Teil

2 x

ableiten
erste Ableitung=0
mit der zweiten Ableitung dann entscheiden, ob Hoch- oder Tiefpunkt

ableiten mit der Quotientenregel

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

f' (x) = \frac{2 x \cdot (x - 1) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

f'' (x) = \frac{(2 x - 2) \cdot {(x - 1)}^{2} - (x^{2} - 2 x) \cdot 2 (x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}

Faktor

(x - 1)

kürzen:

f'' (x) = \frac{(2 x - 2) \cdot (x - 1) - (x^{2} - 2 x) \cdot 2}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

Extremwerte:
erste Ableitung=0

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = 0

x (x - 2) = 0

x = 0

oder

x = 2

Werte in 2. Ableitung

f'' (0) = - 2 < 0 \Rightarrow

HP(0|0)

f'' (2) = 1 > 0 \Rightarrow

TP(1|4)
y-Wert des Tiefpunkts:

f (2) = \frac{4}{1}

andere Aufgabe entsprechend
hab jetzt leider keine Zeit mehr

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