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Schlussregeln formal beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, Mengenlehre, schlussregeln

 
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anonymous

anonymous

13:46 Uhr, 22.11.2020

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Hallo,

in meiner Hausübung soll ich die Schlussregeln:

a) Reductio ad absurdum
b) Modus ponens

formal zeigen.

Leider habe ich keine Ansätze und Probleme mit diesen und auch anderen Schlussregeln umzugehen bzw, diese zu lesen. (Genaue Aufgabe im Bild)

Kann das jmd. lösen und mir evtl. anhand von Aussagen erklären wie ich die Regeln zu lösen habe?

IMG_5946

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

ermanus aktiv_icon

14:22 Uhr, 22.11.2020

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Hallo,
zu (a):
Zeige, dass
((A→B)∧(A→¬B))→¬A
eine Tautologie ist.
Gruß ermanus
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liamtz

liamtz aktiv_icon

14:43 Uhr, 22.11.2020

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Da du meintest, dass du Probleme im Umgang und mit dem Lesen von Schlussregeln hast, hier mal eine mini-Erklärung:

Bei der Reductio ad absurdum nimmst du quasi das Gegenteil von der Aussage an, die zu zeigen ist. Wenn du also zeigen sollst, dass wenn A gilt, dann gilt auch B (formal A→B), dann nimmst du an, dass wenn A, dann nicht B (formal A→¬B). Hier führst du dann einen Widerspruch herbei. Dieser Widerspruch ist dann der Beweis, dass deine ursprüngliche Aussage gilt.

Der Modus Ponens ((A→B)∧A)→B besagt umgangssprachlich: Du weißt, falls A gilt, dann gilt auch B. Das ∧A sagt dir, dass A schon einmal definitv gilt. Somit muss wegen A→B auch B gelten.

Hoffe, das hilft dir ein wenig.

LG
Liam
anonymous

anonymous

10:13 Uhr, 23.11.2020

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Und wie genau stelle ich das nun an? :-D)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:26 Uhr, 23.11.2020

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Ob etwas eine Tautologie ist, würde ich mit einer
Wahrheitstafel prüfen. Für alle "wahr-falsch"-Belegungen
der Variablen A,B muss für den Gesamtausdruck
der Wahrheitswert "wahr" herauskommen.
(Eine andere Möglichkeit wäre, wenn ihr einen axiomatischen
Logikkalkül verwenden sollt, die Ableitbarkeit in diesem Kalkül
zu beweisen.)
anonymous

anonymous

10:43 Uhr, 23.11.2020

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Habe ich nun getan. Anhand der Wahrheitstabelle sehe ich, dass für jede Belegung der Gesamtausdruck "wahr" herauskommt. Kann ich so nun auch b) vorgehen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:44 Uhr, 23.11.2020

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Ja. Ich würde es so machen.
Antwort
liamtz

liamtz aktiv_icon

10:48 Uhr, 23.11.2020

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Formal darstellen kannst man die reductio auch so: Gilt Γ∪{A}⊢B und Γ∪{A}⊢¬B, dann gilt: Γ⊢¬A. Jetzt ersetzt du die Menge Γ mit deiner Menge an logischen Ausdrücken K und schreibst noch kurz dazu, dass damit sowohl A und nicht A gilt und das ein Widerspruch ist, der zeigt, dass nur eines und nicht beide gelten können.
anonymous

anonymous

11:03 Uhr, 23.11.2020

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Danke für den Tipp, aber ich verstehe deinen Ansatz noch nicht so recht @liamtz auch wegen der Symbole, die ich grade nicht erkenne.
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