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Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren, Vektorraum

dragonmaster1 aktiv_icon

17:15 Uhr, 09.05.2015

Hallo allerseits,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben sei der Vektorraum

V = P_{2} [- 1; 1]

und die Basis

B = {b_{1} (x); b_{2} (x); b_{3} (x)} = {1; x; x^{2}}

.
Man konstruiere nach dem Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarproduktes

p \cdot q = < p, q > := \int_{- 1}^{1} p (x) q (x) d x

.

Ich hab leider schon Probleme beim Verstehen der Aufgabe, was ist

z . B

. mit der Aussage des Vektorraums

V

gemeint

(V = P_{2} [- 1; 1])

? Auch das mit dem Skalarprodukt

p \cdot q

verstehe ich noch nicht; ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Viele Grüße

dragonmaster1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:34 Uhr, 09.05.2015

V

besteht aus allen Polynomen des Grades

\leq 2

und diese Menge ist tatsächlich ein Vektorraum, Du kannst Polynome als Vektoren ansehen, da Du sie addieren kannst und mit einer Zahl multiplizieren. Und wenn Du das mit den Polynomen des Grades

\leq 2

machst, kommt als Ergenis wieder ein Polynom des Grades

\leq 2

, weil

\ g r a d (P + Q) \leq g r a d (P) + g r a d (Q)

und

g r a d (a \cdot P) \leq g r a d (P)

.
Die Frage nach dem Skalarprodukt verstehe ich nicht. Du hast auf diesen Raum ein spezielles Skalarprodukt, definiert durch ein Integral. Und?

dragonmaster1 aktiv_icon

10:58 Uhr, 10.05.2015

Vielen Dank für deine Antwort, soweit hatte ich das auch schon mit dem Vektorraum verstanden. Allerdings verwirrt mich das

[- 1; 1]

ein wenig; was soll mir das sagen?
Bei dem Skalarprodukt verstehe ich nicht so wirklich, was

p

und

q

sein sollen. Einfach beliebige Polynome?
Außerdem verstehe ich nicht so wirklich, wie ich bezüglich eines Skalarproduktes das Orthogonalisierungsverfahren anwenden soll.

Viele Grüße

dragonmaster1

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16:18 Uhr, 10.05.2015

"mich das [−1;1] ein wenig; was soll mir das sagen?"

Das Du Funktionen (in Deinem Fall Polynome) nur auf

[- 1, 1]

betrachtet sollst.
Ihre Werte außerhalb von

[- 1, 1]

interessieren Dich nicht.
Das Intervall

[- 1, 1]

ist ziemlich willkürlich, das Ganze würde auf jedem beschränkten Intervall funktionieren. Aber die Rechnerei ist auf

[- 1, 1]

etwas einfacher.

"Bei dem Skalarprodukt verstehe ich nicht so wirklich, was p und q sein sollen. Einfach beliebige Polynome?"

Beliebige Polynome vom Grad

\leq 2

.

"Außerdem verstehe ich nicht so wirklich, wie ich bezüglich eines Skalarproduktes das Orthogonalisierungsverfahren anwenden soll."

Und ich verstehe nicht, wie Du das Orthogonalisierungsverfahren ohne Skalarprodukt anwenden willst. :-O

dragonmaster1 aktiv_icon

16:54 Uhr, 10.05.2015

Heißt das also, dass

- 1 \leq P_{2} (x) \leq 1,

also quasi das "Ergebnis" des Polynoms zwischen

- 1

und 1 liegen muss

(z . B

P_{2} (x) = 0,5

wäre "okay", aber

P_{2} (x) = 2

wäre "nicht okay"?)

Ich will das Orthogonalisierungsverfahren ja auch nicht ohne Skalarprodukt anwenden, aber ich brauch doch für das Verfahren Vektoren; aus einem Skalarprodukt erhalte ich aber doch nur Skalare, deshalb weiß ich nicht so genau wie ich vorgehen soll.

DrBoogie aktiv_icon

17:01 Uhr, 10.05.2015

"Heißt das also, dass

- 1 \leq P_{2} (x) \leq 1

"

Nein, heißt, dass

- 1 \leq x \leq 1

.

"Ich will das Orthogonalisierungsverfahren ja auch nicht ohne Skalarprodukt anwenden, aber ich brauch doch für das Verfahren Vektoren"

Und Du hast sie. Denn wie gesagt, in Deinem Fall sind Polynome Vektoren.

"aus einem Skalarprodukt erhalte ich aber doch nur Skalare, deshalb weiß ich nicht so genau wie ich vorgehen soll"

Vielleicht das besagte Verfahren ein bisschen studieren? Und dann anwenden. Du hast drei Vektoren:

1

x

und

x^{2}

. Ja, das sind Vektoren, auch wenn sie nicht wie "gewöhnliche" Vektoren aussehen. Und Du hast das Skalarprodukt. Also alles, was Du brauchst, um das Verfahren auszuführen.

dragonmaster1 aktiv_icon

19:08 Uhr, 10.05.2015

Das Verfahren ist mir bekannt, ich habe das Ganze schon mit 3 vorgegebenen Vektoren einmal durchgespielt. Aber hier weiß ich nicht, wie ich die Ausgangsvektoren bestimmen soll. Ich weiß auch, dass Polynome als Vektoren aufgefasst werden können,

z . B

. entspricht 1 dem Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), x

dem Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

x^{2} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Mithilfe dieser Basisvektoren kann jedes Polynom 2. Grades als Vektor dargestellt werden.
Kannst du mir bei dieser Aufgabe vielleicht einmal beispielhaft den ersten Ausgangsvektor bestimmen, damit ich das besser verstehe? Oder verstehe ich das völlig falsch?

Viele Grüße

dragonmaster1

DrBoogie aktiv_icon

19:33 Uhr, 10.05.2015

Die Anfangsvektoren:

w_{1} = 1

w_{2} = x

w_{3} = x^{2}

.
Der Vektor

v_{1}

ist einfach

w_{1}

.
Der Vektor

v_{2}

wird nach der Formel

v_{2} = w_{2} - \frac{< v_{1}, w_{2} >}{< v_{1}, v_{1} >} v_{1}

berechnet, also

v_{2} = x - \frac{\int_{- 1}^{1} 1 \cdot x d x}{\int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 d x} \cdot 1 = x - \frac{0}{1} = x

, also für

v_{2}

haben einfach

v_{2} = w_{2}

.
Für

v_{3}

gibt's die Formel

v_{3} = w_{3} - \frac{< v_{1}, w_{3} >}{< v_{1}, v_{1} >} v_{1} - \frac{< v_{2}, w_{3} >}{< v_{2}, v_{2} >} v_{2}

, also

v_{3} = x^{2} - \frac{\int_{- 1}^{1} 1 \cdot x^{2} d x}{\int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 d x} \cdot 1 - \frac{\int_{- 1}^{1} x \cdot x^{2} d x}{\int_{- 1}^{1} x \cdot x d x} \cdot x

.
Und das kannst Du selber berechnen, da kommt

v_{3} = x^{2} - \frac{1}{3}

raus.

Die Vektoren

v_{1}, v_{2}, v_{3}

ist jetzt orthogonal.

dragonmaster1 aktiv_icon

19:47 Uhr, 10.05.2015

Vielen Dank für deine Ausführungen, daran hab ich auch schon nach längerem Überlegen gedacht, allerdings gibt die Lösung andere Werte:

v_{1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

v_{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot x

v_{3} = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{10} \cdot (x^{2} - \frac{1}{3})

Wie kommen diese Vorfaktoren zustande?

Viele Grüße

dragonmaster1

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 10.05.2015

Offensichtlich ist auch gefordert, dass die Vektoren normiert sind.
Also nimm die Vektoren

v_{1}, v_{2}

und

v_{3}

und normiere sie:

v_{1} \to \frac{v_{1}}{\sqrt{< v_{1}, v_{1} >}}

usw.

dragonmaster1 aktiv_icon

19:59 Uhr, 10.05.2015

Jetzt muss ich aber nochmal nachfragen, wäre

v_{1}

(normiert) dann nicht

v_{1} = \frac{1}{\sqrt{< 1,1 >}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1

DrBoogie aktiv_icon

20:01 Uhr, 10.05.2015

Nein, weil

< 1, 1 > = \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 d x = 2

dragonmaster1 aktiv_icon

20:05 Uhr, 10.05.2015

Na klar, war ja so definiert...

Vielen, vielen Dank für deine ausgiebige Hilfe!

dragonmaster1

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