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Schnitt Normalteiler Untergruppe
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Lineare Abbildungen
Tags: Angewandte Lineare Algebra, Gruppe, Gruppentheorie, Linear Abbildung, Normalteiler, Untergruppen
 
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Hallo Zusammen, ich habe Probleme bei folgenden Aufgaben und würde micht über Hilfe/ die Lösung freuen, da ich nicht mehr viel Zeit habe. Aufgabe: Sei eine Gruppe, eine Untergruppe und eine normale Untergruppe/Normalteiler. Beweise: ist eine normale Untergruppe von Der Schnitt von und ist eine normale Untergruppe von H. Vielen Dank für eure Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, ...und dabei sind beide Aussagen ziemlich straight forward zu lösen. Was für eine Aussage muss den beweisen werden, damit z.b. Normalteiler von ist? Mfg Michael |
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Damit Normalteiler von HN ist, muss ich, soweit ich das verstanden habe, erst zeigen, dass eine Untergruppe von HN ist und danach, dass auch Normalteilereigenschaften hat oder? |
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Hallo, vielleicht ist es sogar zuerst nötig nachzuweisen, dass eine Untergruppe von ist. Dazu reicht es, die Abgeschlossenheit bzgl. der Gruppenverknüpfung nachzuprüfen. Damit wäre auch schon nachgewiesen, dass eine Untergruppe von ist, da sicher gilt und ja Normalteiler ist. Wenn ihr ist Untergruppe schon nachgewiesen habt, geht es eigentlich nur noch um die Normalteilereigenschaft. Wie lautet die wohl in diesem Fall? Mfg Michael |
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Wir haben noch nicht nachgewiesen, dass HN Untergruppe von ist. Hier würde ich wie folgt vorgehen: 1. Wenn HN=NH, dann ist HN eine Untergruppe von 2. Wenn Normalteiler ist, dann ist HN=NH erfüllt Ist das so möglich? |
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Hallo, > Ist das so möglich? Ja. Übrigens ist die Gleichung ja auch nicht mehr weit weg von . Mfg Michael |
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Könnte ich die Normalteilereigenschaft dann so zeigen? Sei ∈ und a ∈ HN beliebig, dann gilt axa^−1=(ax)a^−1=(xa)a^−1=x(aa^−1)=xe=x woraus folgt aNa^−1=N |
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Hallo, wenn Normalteiler in ist, dann doch auch trivialerweise in jeder enthaltenden Untergruppe. Sorry für meine Einmischung. |
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Vielleicht wird die Trivialität so deutlicher. Da Normalteiler in ist, gilt für alle , also erst recht für eine Teilmenge von Elementen. Noch deutlicher: wenn mit allen Elementen von vertauschbar ist, dann erst recht mit jeder Teilmenge von ihnen. Deutlicher kann ich es nicht sagen ;-) |
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Ah okay, das ergibt Sinn, ich glaub jetzt habe ich es. Danke |
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Hast du denn b) schon bewiesen? |
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Der Fragesteller hat sich wohl in Luft aufgelöst. Daher hier zur Vollständigkeit mein Vorschlag für b): Für gilt 1. , da Normalteiler ist, 2. , da eine Gruppe ist, also . Ferner ist natürlich eine Untergruppe von , da beliebige Durchschnitte von Untergruppen wieder Untergruppen sind. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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