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Schnitt kompakter Mengen

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Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

 
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ERwin86

ERwin86 aktiv_icon

13:27 Uhr, 27.09.2020

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Ich verstehe den Beweis des folgenden Satzes nicht so ganz:
Sei S eine kompakte Menge und S1S2... eine Folge nicht leerer abgeschlosser Mengen, so dass SnSn+1. Dann ist der Schnitt aller Sn für alle n=1,2,... nicht leer.

So wie ich das verstehe nimmt man eine beliebige Folge (zn) in Sn. Da S kompakt ist, liegt der Häufungspunkt v von (zn) auch in S. v ist damit ebenfalls Häufungspunkt
von der Teilfolge (zn),kn. Wieso liegt dann v in dem Abschluss von S für jedes n?
Liegt das daran, weil SkSn und vSk, da Sk abgeschlossen ist?

Weil Sn nun abgeschlossen ist, liegt vSn für alle n.



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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 27.09.2020

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"So wie ich das verstehe nimmt man eine beliebige Folge (zn) in Sn"

Dieser Satz ergibt keinen Sinn. Kannst du vielleicht den kompletten Beweis posten oder einen Link darauf geben?
ERwin86

ERwin86 aktiv_icon

13:46 Uhr, 27.09.2020

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Das war der komplette Beweis beginnend mit "Sei znSn...",außer dass einige Fragen reingeschoben wurden.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:00 Uhr, 27.09.2020

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Inwiefern kann man damit die Kompaktkeit beweisen?
Der klassische Beweis geht übrigens ganz anders, über die Komplemente von Sn, s. hier:
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_intersection_theorem
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:30 Uhr, 27.09.2020

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"Sei S eine kompakte Menge und S1⊃S2⊃... eine Folge nicht leerer abgeschlosser Mengen, so dass Sn⊃Sn+1."

Es übrigens auch nicht klar, wass denn S ist?

Aber wenn S kompakt ist, dann ist Abschluss von S gleich S. Kompakte Mengen sind abgeschlossen.
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