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Schnitt und Teilvektorräume

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

samuel1357 aktiv_icon

11:52 Uhr, 16.01.2021

Hallo zusammen,

ich bearbeite folgende Aufgaben:
Sei

V

ein Vektorraum, und es seien

A, B, C

Teilräume von V.

i)

Ist

C

⊆

A,

so gilt A ∩

(B + C) = (A

∩

B) + C

.
ii) Gilt im Allgemeinen die Gleichheit A ∩

(B + C) = (A

∩

B) + (A

∩

C)

?

Mich verunsichern die

+ -

Zeichen..
Kann ich diese als Vereinigung auffassen?
In diesem Fall wüsste ich, wie ich die

i)

und ii) zeigen kann.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

12:08 Uhr, 16.01.2021

Hallo,

A + B

ist der von

A \cup B

erzeugte Unterraum, also

A + B = {u + v ∣ u \in A, v \in B}

.
Gruß ermanus

samuel1357 aktiv_icon

12:29 Uhr, 16.01.2021

Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe!
Kann ich

z . B

. Ist

C

⊆

A,

so gilt A ∩

(B + C) = (A

∩

B) + C

dann so beweisen:

x

∈ A ∩

(B + C)

\to x

∈ A oder

x

∈

(B + C)

\to x

∈ A oder

(x

∈

B

und

x

∈

C)

\to x

∈ A oder

(x

∈

B

und

x

∈

C)

\to (x

∈ A oder

x

∈

B)

und

(x

∈ A oder

x

∈

C)

\to x

∈

(A

∩

B)

und

x

∈

(A

∩

C)

\to x

∈

(A

∩

B)

und

x

∈

C

(wegen

C

⊆

A)

ermanus aktiv_icon

13:14 Uhr, 16.01.2021

Nein,
du musst dein

x

schreiben als

y + z

mit

y \in B

und

z \in C

ermanus aktiv_icon

13:31 Uhr, 16.01.2021

(ii) ist falsch! Suche ein Gegenbeispiel.

samuel1357 aktiv_icon

13:54 Uhr, 16.01.2021

Sei b∈B und c∈C.

(b + c)

∈ A ∩

(B + C)

→(b+c) ∈ A oder

(b + c)

∈

(B + C)

→(b+c) ∈ A oder

(b

∈

B

und

c

∈

C)

→((b+c) ∈ A oder

b

∈

B)

und

((b + c)

∈ A oder

c

∈

C)

Ist das der richtige Ansatz?

ermanus aktiv_icon

14:06 Uhr, 16.01.2021

Durchschnitt ist "und" und nicht "oder".

samuel1357 aktiv_icon

14:12 Uhr, 16.01.2021

(b + c)

∈ A und

(B + C)

→(b+c) ∈ A und

(b + c)

∈

(B + C)

→(b+c) ∈ A und

(b

∈

B

und

c

∈

C)

→((b+c) ∈ A und

b

∈

B)

und

((b + c)

∈ A und

c

∈

C)

Stimmt, klar, danke!!
Jedoch ist mir unklar, wie ich nun auf (b+c)∈ A und

B

schließen kann

ermanus aktiv_icon

14:21 Uhr, 16.01.2021

Du musst

b \in A \cap B

zeigen, dann ist

b + c \in (A \cap B) + C

samuel1357 aktiv_icon

14:55 Uhr, 16.01.2021

b + c)

∈ A ∩

(B + C)

→(b+c) ∈ A und

(b + c)

∈

(B + C)

→(b+c) ∈ A und

(b

∈

B

und

c

∈

C)

->(b∈ A ∩

B)

und

c

∈

C

Stimmt dies so?

ermanus aktiv_icon

15:02 Uhr, 16.01.2021

Aber warum ist

b \in A \cap B

samuel1357 aktiv_icon

15:23 Uhr, 16.01.2021

Weil A ein Teilraum ist liegt auch

- a \in A

und somit auch

b

samuel1357 aktiv_icon

15:34 Uhr, 16.01.2021

irgendwie stehe ich auf dem schlauch...

ermanus aktiv_icon

15:50 Uhr, 16.01.2021

Zu 15:23: wo kommt denn plötzlich das

a

her, wir gehen doch von

b + c

aus?

samuel1357 aktiv_icon

15:53 Uhr, 16.01.2021

Ich meinte

- c . .

ermanus aktiv_icon

16:01 Uhr, 16.01.2021

OK.
Zu (ii) mache dir ein 2-dimensionales Beispiel. In (ii) ist

C \subseteq A

nicht vorausgesetzt.

samuel1357 aktiv_icon

16:14 Uhr, 16.01.2021

Ok, also stimmt mein beweis zu

i)

mit der Begründung?
Zu ii) mache ich mir noch ein paar gedanken..

ermanus aktiv_icon

18:03 Uhr, 16.01.2021

Im Prinzip wohl OK, aber undurchsichtig (wo hast du

C \subseteq A

verwendet?
Du bist aber noch nicht fertig; denn du hast dann erst

A \cap (B + C) \subseteq (A \cap B) + C

gezeigt.
Es fehlt zur Gleicheit noch die andere Teilmengenbeziehung

(A \cap B) + C \subseteq A \cap (B + C)

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