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Schnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Untergruppen
 
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Hallo, (G,◦) ist eine Gruppe, I ist eine Indexmenge und sind Untergruppen von G für n I ich muss zeigen dass A= eine Untergruppe von G ist. Für mich ist das logisch, dass A eine weiter Untergruppe von G ist, aber ich weiß nicht wie ich es beweisen soll. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Na, die Eigenschaften prüfen. 1. Neutrales Element drin. 2. drin drin 3. drin => drin. Z.B. 1. wird so gezeigt: alle sind Untergruppen von , also liegt das neutrale Element in allen von , damit liegt es auch im Schnitt von . |
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Vielen Dank. Ich habe jetzt mal 2. versucht: Sei a in und b in so ist auch a◦b in . Somit auch im Schnitt von . Irgendwie ist das ja fast dasselbe wie bei 1. Ist es trotzdem richtig? |
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Nicht ganz. Richtig wäre: seien aus . Dann haben: für jedes => für jedes , weil eine Untergruppe ist => . |
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Okay, beim 3. habe ich : Wenn a A, dann muss a . Daraus folgt, dass . Damit folg aus dem Schnitt, dass A |
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Wäre die Vereinigung aller Untergruppen dann wieder eine Untergruppe oder die Gruppe selbst? |
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Weder noch. Vereinung muss keine Untegruppe sein. |
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Weil sie nicht abgeschlossen ist oder warum? |
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Nun, wenn aus , dann gibt's keine Garantie, dass und in der gleichen liegen. Daher muss auch nicht in liegen. Konkrete Beispiele hier: math.stackexchange.com/questions/696247/union-of-subgroups |
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Danke du hast mir sehr geholfen. |
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