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Schnitt von kompakten Teilmengen
Universität / Fachhochschule
Tags: Durchschnitt, kompaktheit, topologischer raum
 
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Hallo ! Ich soll zeigen, dass der Schnitt endlich vieler kompakter Teilmengen eines topologischen Raumes wieder kompakt ist. Ich hätte bis jetzt mal so überlegt: Ich wähle zu jeder Menge eine offene Überdeckung und bilde dann den Durchschnitt dieser Überdeckungen. Da alle kompakt sind, existieren Teilüberdeckungen zu jeder offenen Überdeckung von . Wenn ich dann den Durchschnitt dieser Teilüberdeckungen betrachte, kann ich dann damit irgendwie weiter argumentieren, dass der Durchschnitt der kompakt ist? Oder ist das generell der falsche Ansatz? Danke schonmal ! LG Meli Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du kannst nicht einfach nach Gutdünken zu jedem eine offene Überdeckung "wählen"; denn du musst von einer offenen Überdeckung von ausgehen. Die musst du also als gegeben betrachten ... Gruß ermanus |
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Nochmal 'ne Frage: ist es wirklich ein beliebiger topologischer Raum oder vielleicht doch eher ein metrischer Raum? Sind beliebige topologische Räume zugelassen, so gibt es Beispiele, wo bereits der Durchschnitt zweier kompakter Mengen NICHT kompakt ist ! |
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Hallo Ermanus! Ja ist ein topologischer Raum. In der Angabe steht nichts darüber, dass es ein metrischer Raum ist... Inwiefern ist das ein Problem? Okay also angenommen: wobei (Uj)_ eine beliebige offene Überdeckung des Durschnittes ist. Ich weiß nun, dass meine alle kompakt sind, womit jedes eine endlcihe Teilüberdeckung besitzt. Aber wie kann ich nun weitermachen? Du meintest ja, dass ich nicht einfach auch von diesen den Durschnitt nehmen darf/ kann oder? Danke schonmal! Auch für deine schnelle Antwort! Liebe Grüße Meli |
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Die Lage ist viel schlimmer! Ich meine, dass die Aussage falsch ist und es uns deswegen nicht gelingen kann sie zu beweisen. |
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Ohje, dann muss da ein Angabefehler vorliegen.. Also ganz konkret lautet die Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass der Schnitt endlich vieler kompakter Teilmengen . . . eines topologischen Raumes wieder kompakt ist. Es war die gleiche Angabe auch für die Vereinigung gefragt, aber diese habe ich geschafft (glaube ich zumindest). Liebe Grüße Meli |
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Ja, bei der Vereinigung tritt das Problem auch nicht auf. Es würde auch beim Durchschnitt hinzukriegen sein, wenn in dem topologischen Raum kompakte Mengen abgeschlossen wären, was in Hausdorff-Räumen sicher der Fall ist. Speziell würde man es also in metrischen Räumen beweisen können. Bei allgemeinen topologischen Räumen kann man ein Gegenbeispiel angeben. |
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Guten Tag! Also ich hab jetzt nochmal bei den Aufgabenstellern nachgefragt und die Angabe sollte stimmen.. ist ein beliebiger topologischer Raum. Kann ich das wirklich nicht beweisen? Gruß Meli |
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Das kannst du nicht, weil es falsch ist! Hier kommt das Gegenbeispiel: wir nehmen versehen mit der diskreten Topologie. Seien ferner irgendzwei verschiedene Elemente, etwa . Wir versehen nun mit folgender Topologie: Eine Menge sei offen, wenn sie 1. entweder eine beliebige Teilmenge von ist oder 2. die Menge oder ist oder 3. gleich ganz ist. In dieser Topologie sind die Mengen und kompakt, ist hingegen nicht kompakt. |
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Vielleicht liegt das Geheimnis auch darin, dass ihr eine andere Definition von "kompakt" habt als ich. Ich verstehe darunter die Gürltigkeit der "Überdeckungseigenschaft" Sei doch so nett und schreibe hier eure Definition von Kompaktheit auf. |
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Hallo Ermanus! Also wir haben Kompaktheit wie folgt definiert: Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes (oder allgemeiner eines Hausdorff-Raumes) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung (Ui)i∈I von A eine endliche Teilüberdeckung besitzt,d.h.endlich viele Indizes existieren, so dass A ⊂ Ui_1 ∪ Ui_2 ∪ ...∪ Ui_k. Ein Hausdorff-Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckungvon eine endliche Teilüberdeckung besitzt (dies ist der Spezialfall der obigen Definition. Für konkret topologische Räume haben wir keine andere Definition gemacht. Gruß Meli |
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Aha! Ihr habt also Kompaktheit nur für Hausdorff-Räume definiert. Die Info, die man dir gegeben hat, dass allein "topologischer Raum" vorausgesetzt werde, war also FALSCH :( Nun denn, dann müssen wir uns die Sache mit dem Durchschnitt nochmal anschauen ;-) Dauert aber ein bisschen ... Gruß ermanus |
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Sei ab jetzt immer Hausdorffsch vorausgesetzt. Kennt ihr folgende Sätze? 1. Eine kompakte Menge ist abgeschlossen. 2. Eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. Gruß ermanus |
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Guten Abend Ermanus! Ohje dann war wohl wirklich die Angabe falsch.. Wir haben den folgenden Satz gemacht, der eigentlich beides vereint, wenn ich ihn richtig verstehe: Sei ein Hausdorff-Raum und ⊂ eine kompakte Teilmenge. Dann ist abgeschlossen und jede abgeschlossene Teilmenge A ⊂ ist kompakt. Liebe Grüße Meli |
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Das ist super! Wir müssen ja nur für zwei kompakte Mengen zeigen, dass kompakt ist. Da und kompakt sind, sind und abgeschlossen, also ist auch abgeschlossen. Nun ist aber , also eine abgesxchlossene Teilmenge des kompakten , also selbst kompakt, fertig! Gruß ermanus |
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Danke Ermanus! Das ist ja toll, vielen Dank, das macht nun Sinn, an diesen Satz hatte ich gar nicht gedacht! Aber reichen wirklich zwei Mengen? Ist eine Induktion (wegen endlich vieler hier nicht notwendig? Außerdem wollte ich dich fragen, ob meine Gedanken zur Vereinigung nun noch stimmen, da mich als beliebiger topologischer Raum (wie es eigentlich in der Angabe stand) nun doch etwas verwirrt hat: Es seinen endlich viele kompakte Teilmengen von X. Wir wählen nun eine offene Überdeckung von der Vereinigung all meiner endlichen und kompakten Teilmengen (die Vereinigung nennen wir also . Jedes ist damit eine Teilmenge von . Weil mit der Voraussetzung alle meine kompakt sind: (mit (mit Jedes ist eine Teilmenge von P. ist also eine Teilmenge von der Vereinigung von all diesen Teilmengen: (die erste Vereinigung geht von bis . und damit ist . eine endliche Teilüberdeckung und kompakt. Liebe Grüße Meli |
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Hallo, sowohl bei der Vereinigung als auch beim Durchschnitt muss man nur zwei Mengen betrachten; denn z.B. , etc. Da dies so offensichtlich ebenso für endlich viele Mengen funktioniert, würde ich persönlich nicht den Formalismus der vollständigen Induktion bemühen. Du kannst das natürlich machen um sicherzugehen, dass deine Lösung auch bei erbsenzählenden KorrektorInnen Gnade findet. Ich halte das Auswalzen von Trivialitäten nicht für lebendige Mathematik, sondern für schlechten Stil, der einen nutzlos langweilt. Deinen Beweis wg. Vereinigung schaue ich mir morgen nochmal an ... Gruß ermanus |
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Hallo Meli, habe mir deinen Beweis für die Vereinigung angeschaut. Der ist vollkommen korrekt, aber insofern seltsam, weil du das Wesentliche verschweigst, dass nämlich deine endlich sind und daher auch ihre Vereinigung. Das musst du unbedingt reparieren ;-) Gruß ermanus |
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Hallo, also ich glaube, dass man keine Induktion braucht.. Gruß Maria |
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Okay vielen vielen Dank ! Um mir ein paar Formalitäten zu ersparen, könnte ich bei der Vereinigung also genauso gut meine Argumente von oben auf einen Beweis mit nur 2 Mengen übertragen, und eine Induktion wäre dann aufgrund der Kenntnisse aus der Mengenlehrte nicht nötig, oder ? LG Meli |
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Ja. Ich würde das so machen. Das Risiko kann ich natürlich nicht für dich übernehmen ;-) Du solltest aber beide Beweise beginnen mit den Worten: "Offenbar genügt es, die Behauptung für zwei Mengen zu beweisen." |
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Alles klar vielen Dank! ;-) Was ich mich noch gefragt habe: Wenn ich beim Durchschnitt unendlich viele kompakte Teilmengen nehme, erhalte ich dann immer noch eine kompakte Menge? Bzw. falls nicht, warum nicht? LG Meli |
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Da der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, kannst du wieder schließen, dass die Kompaktheit ebenfalls auf beliebige Durchschnitte zutrifft. |
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