Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Schnitt von kompakter und abgeschlossener Teilmeng

Schnitt von kompakter und abgeschlossener Teilmeng

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Daniel02 aktiv_icon

20:17 Uhr, 21.10.2023

Hi,

Ich soll folgendes zeigen:

Sei (X,d) ein metrischer Raum,

F \subseteq X

eine abgeschlossene Teilmenge und

K \subseteq X

eine kompakte Teilmenge von X. Zeigen Sie

F \cap K \neq \emptyset \overset{}{\Leftrightarrow} i n f {d (x, y) : x \in F, y \in K} = 0

--------------------------------
Meine Idee:
die eine Richtung sollte leichter sein

"-->"
aus

F \cap K \neq \emptyset

folgt dass es ein Element

a \in F \cap K

gibt und somit gibt es ein

x \in F

und

y \in K

gibt sodass d(x,y)=0 ( nämlich x=y=a). Also ist auchd as Infimum 0

Die andere RIchtung bereitet mir noch Probleme
"<--"
aus dem Infimum kann ich nämlich nicht sofort schließen dass es solche x.y geben muss die den Abstand 0 haben... Ich vermuite mal das hier die Kompaktheit udn Abgeschlossenheit mit reinspielen. Aber krieg das gerade nicht zusammen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Randolph Esser aktiv_icon

03:50 Uhr, 22.10.2023

\Rightarrow

:

Es gebe ein

ρ \in F \cap K

.

Dann folgt wegen

d (ρ, ρ) = 0

sofort

i n f {d (x, y) : x \in F, y \in K} = 0

\Leftarrow

:

Gelte

i n f {d (x, y) : x \in F, y \in K} = 0

.

Dann gibt es Folgen

(x_{k})_{k}

K

und

(y_{k})_{k}

F

mit

d (x_{k}, y_{k}) < \frac{1}{k}

für alle

k \in ℕ

.

Da

K

kompakt ist, gibt es eine Teilfolge

(x_{k (l)})_{l}

mit

x_{k (l)} \to ρ \in K (l \to \infty)

.

Wegen

d (y_{k (l)}, ρ) \leq d (y_{k (l)}, x_{k (l)}) + d (x_{k (l)}, ρ) \to 0 (l \to \infty)

gilt auch

y_{k (l)} \to ρ (l \to \infty)

und, da

F

abgeschlossen ist, zudem noch

ρ \in F

,

also

ρ \in F \cap K

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1577155

1577150

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?