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Schnitt von nichttrivialen Untergruppen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Es sei eine Gruppe und die seien alle nichttrivialen Untergruppen von G. Man zeige nun, dass gilt: Ich denke nicht, dass ich ernsthafte Probleme habe, hier eine entscheidende Beweisidee zu finden, wenn ich nur ein Beispiel finden kann, dass den Voraussetzungen genügt. Denke schon länger nach, finde keines. Kann mir jemand vielleicht eines nennen? In allen Beispiel ist der Schnitt aller Untergruppen bei mir nämlich stets genau . :/ Ich musste schon fast annehmen, dass die Voraussetzung gar nicht erfüllbar ist bzw. es zumindest eher exotischen Konstruktionen von Gruppen bedarf. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Zyklische von Primzahlpotenzordnung. Aber spannend wird es ja eigentlich erst bei unendlichen Gruppen (da sonst die rechte Seite ohnehin erfüllt ist) |
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Okay, gehen wir den Beweis an! ;-) (Indirekt) Es sei vorausgesetzt, dass der Schnitt ungleich ist. Angenommen, die Behauptung würde nicht stimmen, also, es gibt ein Element , welches unendliche Ordnung hat. Dann betrachte ich doch einfach mal das Erzeugnis dieses seltsamen Elements: So, jetzt spricht diese Menge klar zu uns. Schauen wir mal, was passiert, wenn wir jedes Element von in eine einzelne Menge packen. Bilden wir nun den Schnitt. Ohh, halt, der Schnitt muss nichtmal sein, ohje, kein Widerspruch! :-( Naja, im Erzeugnis von muss ja das neutrale Element nicht unbedingt vorkommen, denn, Beispiel: Betrachte die Menge und das Element 3. Das Erzeugnis lautet doch (durchlaufe also unendlich oft die letzte Menge). Wo bleibt das neutrale Element bezügl. Addition? :( |
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Das Erzeugnis ist immer die kleinste enthaltende Untergruppe. Also ist in beispielsweise . Und bei ist neutral. Aber tatsächlich gilt: Für jedes ist entweder isomorph zu oder zu einem . Wenn wir die Existenz eines Elementes unendlicher Ordnung annehmen, enthält eine zu isomorphe Gruppe. Somit ist auf jeden Fall . Es genügt daher eigentlich, den Fall zu betrachten. Dort gilt aber in der Tat |
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