Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Schnitt zweier Halbringe ein Halbring?

Schnitt zweier Halbringe ein Halbring?

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: (mengentheoretischer) Halbring: ist Durchschnitt solcher wieder Halbring?

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Mittwoch

Mittwoch aktiv_icon

16:52 Uhr, 20.10.2012

Antworten
Hallo miteinander!

Habe folgende Aufgabe:

Sei X eine Menge und seien H,K⊆2X Halbringe. Hierbei ist mit 2X die Potenzmenge von X gemeint und eine Mengenfamilien H ist nach Definition Halbring genau dann wenn

(1) ∅∈H
(2) A∩B∈H∀A,B∈H
(3) Für alle A,B∈H gilt: A\B=∪i=1nHi für paarweise disjunkte Hi∈H.

Die Frage lautet nun, ob L=H∩K ebenfalls Halbring ist. Dass die Eigenschaften (1) und (2) für L erfüllt sind sieht man leicht. Eigenschaft (3) ist um Einiges schwerer einzuschätzen. Ich bin mir mittlerweile ziemlich sicher, dass L im Allgemeinen kein Halbring ist, denn ich kann für A,B∈L die Menge A\B zwar sowohl als disjunkte Vereinigung von Elementen aus H als auch als disjunkte Vereinigung von Elementen aus K darstellen, aber ich denke im Allgemeinen eben nicht als disjunkte Vereinigung von Mengen aus H∩K=L. Leider will mir auch nach längerem Nachdenken kein Gegenbeispiel einfallen, sodass ich nicht vollkommen sicher sein kann. Weiß eine(r) von euch Rat?

Danke, Florian
Online-Nachhilfe in Mathematik
Neue Frage
Mittwoch

Mittwoch aktiv_icon

17:59 Uhr, 22.10.2012

Antworten
Die Aussage ist falsch!

Falls es jemanden interessiert, mir ist ein (einfaches) Gegenbeispiel eingefallen:

A={∅,{1},{2,3},{4},{1,2,3,4}} und ∅,{1,2},{3},{4},{1,2,3,4} sind Halbringe, aber A∩B ist es nicht.