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Schnittfläche und -volumen zweier Zylinder

Universität / Fachhochschule

Körper

Integration

Tags: Integration, Integrationsgrenzen, Körper, Schnittebene, Schnittfläche

fiRe2011 aktiv_icon

12:37 Uhr, 04.12.2020

Hallo zusammen,

ich möchte die Schnittfläche und das Schnittvolumen zweier Zylinder berechnen.
Zur Veranschaulichung.

Der große, blaue Zylinder

(u 1, v 1) R = 3

mit

x = v 1; y = R \cdot sin (u 1); z = R \cdot cos (u 1)

liegt auf der x-Achse, der rote, kleine Zylinder

(u 2, v 2) r = 1

mit

x = r \cdot cos (u 2); y = r \cdot sin (u 2); z = v 2

liegt auf der z-Achse, die Zylinder schneiden sich also. Um die Schnittkurve zu berechnen habe ich die Zylinder in Parameterform dargestellt und diese gleichgesetzt. Dabei habe ich alles nach

u 2

umgeformt und dieses durch

t

ersetzt.

Formel der Schnittkurve

x = r \cdot cos (t)

y = r \cdot sin (t)

z = \sqrt{R^{2} - r^{2} \cdot {sin (t)}^{2}}

Problem/Ansatz:

Für die Schnittfläche möchte ich ein Doppelintegral benutzen. Dabei nutze ich die erste Fundamentalform

E, F

und

G

. Beim Zylinder ist

E = r^{2}, F = 0

und

G = 1

\int (\int (\sqrt{E \cdot G - F^{2}}))

Jetzt hänge ich aber bei den Integrationsgrenzen. Als erste Grenze möchte ich eine Funktion

u (v)

einsetzen, um die Kurve des kleinen Zylinders auf dem Großen abzubilden. Als zweite bin ich mir nicht sicher, entweder 0 bis

r

oder 0 bis

2 \cdot π

. Wie komme ich auf die Grenzen für die Schnittfläche?

Bei dem Schnittvolumen habe ich das gleiche Problem. Ich möchte ein Dreifachintegral nutzen, weiß aber nicht in welchen Grenzen.

Freue mich über jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

N8eule

22:44 Uhr, 04.12.2020

Hallo
Wenn du Größen einführst, dann wäre es schon auch gut, wenn du deren Bedeutung auch eindeutig erklärst.
Ich konnte zwar aus deinen Formeln rück-plausibilisieren. Aber schön wäre es, wenn man nicht erst nach-plausibilisieren muss, um Verständnis auszutauschen.
Ich habe zurückgeschlossen:

>

Die Achse des großen blauen Zylinders liegt auf der x-Achse.

>

Er hat den Radius R.

>

Die Achse des kleinen roten Zylinders liegt auf der z-Achse.

>

Er hat den Radius

r

>

Bei

u_{1}

dürfte es sich um einen Winkel in der y-z-Ebene handeln, ausgehend von der z-Achse.
Vorschlag - um Schreibarbeit zu sparen, lass uns ihn einfach "u" taufen.

>

Bei

u_{2}

bist du selbst nach wenigen Schritten auf die gloreiche Idee gekommen, den doch lieber "t" zu taufen. Es dürfte sich um einen Winkel in der x-y-Ebene handeln, ausgehend von der x-Achse.

Bisher hast du noch keine Erklärung zu den Höhen der Zylinder gegeben. Aber das lässt sich ja sicher leicht nachholen.

"Für die Schnittfläche möchte ich ein Doppelintegral benutzen."
Wenn du jetzt noch verrätst, welche Fläche du zunächst angehen willst, dann könnten wir auch eindeutiger angreifen.
Ich will mal annehmen, dass du die rote Zylindermantelfläche außerhalb des blauen Zylinders meinst.

Dann schaffe ich einfach mal eine Höhe: Ich nehme an, die Abschluß-Kreisfläche des roten Zylinders läge auf der Höhe:

z = h

Wer unbedingt ein Doppelintegral nutzen will, der darf sicherlich später auch Doppelintegrale verklausulieren.
Für Übersichtszwecke hätte ich einfach mal gesagt:

A = \int_{0}^{2 \cdot π} (h - \sqrt{R^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} (t)}) \cdot r \cdot d t

PS:
Dieser Ausdruck

{sin (t)}^{2}

wurde schon tausendfach diskutiert.
Ich schlage vor:
Wenn wir

sin (t^{2})

meinen, dann schreiben wir auch

sin (t^{2})

wenn wir

{sin}^{2} (t) = {[sin (t)]}^{2}

meinen, dann schreiben wir auch

{sin}^{2} (t)

und den zweifelhaften Ausdruck

{sin (t)}^{2}

überlassen wir den Diskussionsfreudigen, die es in diesem Forum eh schon mehr als genug gibt.

So weit mal vorab.
Hilft das schon?
Was meinst du?
Wo brauchst du noch Hilfe?
Bekommst du hieraus, falls denn unbedingt erwünscht, dein Doppelintegral formuliert?

Falls du in einem der nächsten Schritte auch wieder Volumen andiskutieren wolltest, dann vorab auch schon mal die Warnung, genau zu erklären, welches Volumen du denn meinst.
Beispielhaft, ahnenderweise:
vielleicht das Volumen des oberen roten Zylinder-ähnlichen Rests mit nicht ebener Grundfläche, weil unten der blaue große Zylinder seine blaue echt-zylindrische Begrenzungsfläche schon abgeschnitten hat.

fiRe2011 aktiv_icon

17:21 Uhr, 05.12.2020

Hallo N8eule,
vielen Dank für deine Hilfe.
Entschuldige meine Ausdrucksweise, ich habe noch nie zuvor eine Mathefrage in einem Forum gepostet und mich mathematisch auszudrücken ist nicht meine Stärke.
Deine Annahmen waren fast alle richtig. Dass ich

u 1, v 1

für den blauen bzw.

u 2, v 2

für den roten Zylinder benutzt habe und mit

t

substituiert habe, war so von der Aufgabe vorgegeben.

Die Höhe der Zylinder ist unwichtig weil mich:
1. die Oberfläche des blauen Zylinders, die vom roten Zylinder begrenzt wird, also die nicht ebene Grundfläche, bzw Deckfläche, interessiert. Ich habe nochmal eine Abbildung der Schnittkurve eingefügt, diese Fläche der Schnittkurve interessiert mich.
2. das Volumen des roten Zylinders der vom blauen Zylinder eingeschlossen wird interessiert. Also praktisch das "innere" des roten Zylinders, begrenzt vom Blauen.

Ein ähnlicher Fall ist der Steinmetz-Körper, nur dass meine Zylinder unterschiedliche Radien besitzen und ich nicht die gesamte Oberfläche berechnen möchte, sondern nur die Deckfläche. Die Idee mit dem Doppeintegral stammt aus dem Papula Band 2 mit Doppelintegralen zur Flächenberechnung.

Ich hoffe ich konnte mein Problem genauer ausdrücken, dass es verständlich geworden ist. Durch die anfänglichen Missverständnisse ist dein Integral leider nicht das was ich suche. Viele Dank für die weitere Hilfe :-)

pwmeyer aktiv_icon

18:14 Uhr, 05.12.2020

Hallo,

um sicher zu sein: Es geht um die Fläche, die aus dem blauen großen Zylinder durch den kleinen roten Zylinder ausgeschnitten wird - sagen wir nur den oberen Teil.

Wenn es eine Teilfläche des blauen Zylinders sein soll, müsste dann die Fundamentalform nicht mit den Kenngrößen des blauen Zylinders ausgedrückt werden, also

E = R^{2}

?

Wenn man von der Parametrisierung

(v, R \cdot sin (u), R \cdot cos (u))

ausgeht, dann liegt das blaue Teilstück über dem Kreis

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

. Das führt zur Bedingung:

v^{2} + R^{2} \cdot {sin (u)}^{2} \leq r^{2}

(Hinweis: Ich teile die Ausführungen von N8chtEule zur Schreibweise trigonometrischer Funktionen nicht, für N8chtEule:

v^{2} + R^{2} \cdot {sin}^{2} (u) \leq r^{2})

Das ist recht kompliziert. Ich würde das Teilstück dann so parametrisieren:

(s, t, \sqrt{R^{2} - t^{2}}), s^{2} + t^{2} \leq r^{2}

und evtl. für

(s, t)

zu Polarkoordinaten übergehen.

Ich habe eigentlich nie mit Fundamentalformen gearbeitet, sondern immer das Oberflächenelement aus der Parametrisierung hergeleitet.

Vielleicht habe ich aber auch die Aufgabe falsch verstanden?

Viele Grüße
pwm

N8eule

18:30 Uhr, 05.12.2020

Aah ja, da wird uns doch eine Skizze aus geeigneteren Perspektiven weiter helfen.

Ich verstehe die Fläche dann als Integral kleiner Kreisbogenflächen dA , für die wohl gilt:

Rand-Koordinate

y :

y^{2} + x^{2} = r^{2}

\to

y = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Winkel

u

auf diese Randkoordinate:

sin (u) = \frac{y}{R}

\to

u =

arcsin(y/R) = arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R)

Folglich:

A = \int

= \int_{- r}^{r}

2*R*arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R)

\cdot d x

und aus Symmetriegründen natürlich entsprechend:

A = 4 \cdot R \cdot \int_{0}^{r}

arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R)

\cdot d x

Ja?

Und wer will, kann natürlich wieder wild als Doppelintegral verkausulieren:

A = 4 \cdot R \cdot \int_{x = 0}^{r} [

int_(u=0)^arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R) du

] \cdot d x

fiRe2011 aktiv_icon

21:16 Uhr, 05.12.2020

Hallo pwmeyer,

danke für deine Antwort. Dust hast die Aufgabe richtig verstanden.
Da die Fläche vom roten Zylinder eingeschlossen wird bin ich von

E = r^{2}

ausgegangen, ich kann mich aber auch irren.

Jetzt weiß aber nicht was das

s

zu bedeuten hat? Wofür steht der Parameter? Wie leite ich das Oberflächenelement aus der Parametrisierung her?

Viele Grüße

fiRe2011 aktiv_icon

21:21 Uhr, 05.12.2020

Danke für die Antwort N8eule,

leider muss ich gerade gestehen dass ich das Integral nicht gelöst bekomme, weder per Hand noch mit Matlab. Der arcsin ist doch nur im Bereich von

[- 1,1]

anwendbar?

pwmeyer aktiv_icon

09:46 Uhr, 06.12.2020

Hallo,

s

und

t

sind einfach Variable, so wie Du

v_{1}

und

u_{1}

verwendest.

Ich habe eine Parametrisierung von der Form

(s, t) \mapsto (s, t, f (s, t))

angegeben. Das Oberflächenelement ist - egal wie man es berechnet, vgl. Wikipedia -

\sqrt{1 + f_{s}^{2} + f_{t}^{2}}

(partielle Ableitungen).

Allerdings führt das bei mir nicht zu einfachen Integralen, sondern im wesentlichen was

N

auch schon geschrieben hat.

Möglicherweise gibt es keine einfache geschlossene Lösung? Handelt es sich um eine Übungsaufgabe?

Gruß pwm

fiRe2011 aktiv_icon

13:46 Uhr, 06.12.2020

Die Aufgabe ist unter anderem Teil meiner Prüfungsleistung für Mathe im Studium, also meine Note hängt davon ab. Das Gleiche muss ich auch noch für Zylinder durchführen, wo der rote Zylinder einmal gedreht und einmal verschoben ist. Aber ich habe ja schon Probleme mit diesem Fall.
Das von N8eule genannte Integral

A = 4 \cdot R \cdot \int_{0}^{r}

arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R)

\cdot d x

gibt die richtige Lösung (Ich habe zur Überprüfung die Körper in einem CAD Programm erstellt um mir dort die Flächen zu bestimmen). Allerdings kann ich mit dem Integral nicht umgehen. Wolfram Alpha konnte mir als einziges Programm eine Lösung des Integrals geben, aber ohne Rechenweg.

Wie löse ich dieses Integral? Bzw wie kann ich es in Matlab programmieren, falls das eine Möglichkeit darstellt?

Roman-22

16:03 Uhr, 06.12.2020

>

Wolfram Alpha konnte mir als einziges Programm eine Lösung des Integrals geben, aber ohne Rechenweg.
Onkel Wolfram wird dir sicher keine Lösung für das bestimmte Integral ausgespuckt haben, oder? Bestenfalls für das unbestimmte Integral und da kommen in der Lösung sicher elliptische Integrale vor, welche letztlich ja auch nur eine Abkürzung für Integrale sind, welche nur numerisch auswertbar sind.
Wenn du konkrete Werte für

r

und

R

vorgibst, sollte es auch für MatLab kein Problem sein, das bestimmte Integral hinreichend genau numerisch auszuwerten. Aber das hast du ja vermutlich ohnedies bereits gemacht, da du ja geschrieben hast, dass du den Wert deines CAD Programms mit dem Ergebnis des Integrals verglichen hast.

Eine geschlossene symbolische Lösung dieses Integrals wird sich eben nicht finden lassen (mit Ausnahme unter Verwendung von elliptischen Integralen wie bei Wolfram).

EDIT: Hab mich jetzt doch aufgerafft und das Ding Onkel Wolfram übergeben - Ergebnisse beiliegend. Wolfram gibt das unbestimmte Integral unter Verwendung elliptischer Integrale erster und zweiter Art an. Siehe Screenshots.

fiRe2011 aktiv_icon

21:09 Uhr, 06.12.2020

Danke für die Antwort.

Ich konnte es jetzt mit Matlab programmieren und die Frage nach der Fläche hat sich gelöst.

Bleibt noch die Frage nach dem Volumen des Körpers.
Die berechnete Fläche einfach mit

2 \cdot R

zu multiplizieren erscheint mir zu einfach. Ist hier ein Volumenintegral notwendig?

N8eule

21:47 Uhr, 06.12.2020

also gut, dann noch zum Volumen.

"Die berechnete Fläche einfach mit

2 R

zu multiplizieren erscheint mir zu einfach."
Ja, sowas sollte man erst gar nicht in den Mund oder auf die Tastatur legen.

"Ist hier ein Volumenintegral notwendig?"
Ja.

Wieder mal ein paar geschickte Schnitte und Skizzen, dann sollte das Integral über einige dV nicht schwer fallen.

Wie hoch sind unsere dV (also die z-Ausprägung)?
da wird doch sicherlich helfen:

R^{2} = z^{2} + y^{2}

\to

z = \pm \sqrt{R^{2} - y^{2}}

Wie breit sind unsere dV (also die x-Ausprägung)?
da wird doch sicherlich helfen:

r^{2} = x^{2} + y^{2}

\to

x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}

Und schon sollte eigentlich die Formulierung des Volumens nicht mehr schwer fallen:

V = \int

= \int_{- r}^{r} 2 \cdot z (y) \cdot 2 \cdot x (y) \cdot d y

V = \int_{- r}^{r} 2 \cdot \sqrt{R^{2} - y^{2}} \cdot 2 \cdot \sqrt{r^{2} - y^{2}} \cdot d y

und aus Symmetriegründen wieder mal:

V = 8 \cdot \int_{0}^{r} \sqrt{R^{2} - y^{2}} \cdot \sqrt{r^{2} - y^{2}} \cdot d y

Viel Spaß!

fiRe2011 aktiv_icon

10:47 Uhr, 07.12.2020

Sehr vielen Dank für die Antwort, es hat mir weiter geholfen. Allerdings muss ich nochmal deine Hilfe in Anspruch nehmen, da wie oben erwähnt, dies nur ein Fall von drei ist. Fall 2 und Fall 3 unterscheiden sich leicht von dem jetzigen

In Fall 2 ist der rote Zylinder um

β =

45° bzw.

0,25 \cdot π

um die x-Achse gedreht (Abbildung

1)

. Jetzt gehe ich davon aus dass der Ansatz für die Fläche

y^{2} + x^{2} = r^{2}

nicht mehr so anwendbar ist oder?

Bei Fall 3 ist der rote Zylinder um das Maß

a = 0,5

über der z-Achse (Abbildung

2)

. Hier wäre mein Ansatz für die Fläche

y^{2} + {(x - a)}^{2} = r^{2}

Sind meine Gedanken soweit richtig?

N8eule

22:42 Uhr, 07.12.2020

Hallo nochmals

"In Fall 2 ist der rote Zylinder um 45° um die x-Achse gedreht."
Dargestellt hast du aber eine Drehung um die y-Achse.
Sind wir uns einig (?):

>

Die Achse des blauen Zylinders bleibt stets im Koordinatenursprung (durch

x = 0; y = 0; z = 0)

>

auch die Achse des roten Zylinders geht durch den Koordinatenursprung,

>

in der

y = 0

-Ebene,

>

jetzt aber auf der Geraden

z = - x

.

Woher hast du die perspektivischen Grafiken?
Zur Anschaulichkeit und Vorstellungskraft schon ganz gut, aber
für die Darstellung wahrer Größen und Dreiecke empfehle ich geeignete Perspektiven, wie schon mehrfach von mir vorgeführt.

Mach mal, dann findest du wahrscheinlich Bestätigung für deine Theorie
"dass der Ansatz

. .

y^{2} + x^{2} = r^{2}

nicht mehr anwendbar ist..."
Wenn's nicht mehr anwendbar ist, was kannst du denn an anwendbaren Dingen aus deiner Skizze lesen?

zu Fall 3
"ist der rote Zylinder um das Maß

a = 0,5

über der z-Achse"
Dargestellt hast du wiederum, dass der rote Zylinder in y-Richtung verschoben ist. Ich mag annehmen, dass die Achse des roten Zylinders in der

y = a = 0.5

-Ebene liegt.
"Hier wäre mein Ansatz für die Fläche
y^2+(x−a)^2

= r^{2}

"
Nein, wieder knapp daneben.
Nochmals, eine Skizze in der rechten Perspektive wird dir Sicherheit geben.

fiRe, ich hab's eigentlich schon zweimal vorgemacht.
Soll ich noch ein drittes Mal - oder willst du mal
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
wahr machen?

fiRe2011 aktiv_icon

16:01 Uhr, 09.12.2020

Hallo,

ich habe mich nochmal an den Aufgaben versucht und stehe immer noch auf dem Schlauch.

Bei Fall 2 weiß ich nicht wie ich mit der Drehung umgehen soll. Da ich denke, dass

x^{2} + y^{2} = r^{2}

nicht so anwendbar ist, habe ich einen anderen Ansatz über das Flächenelement

F = \int \sqrt{1 + x'^{2} + y'^{2}} d t

gesucht. Ich weiß aber keine Grenzen einzusetzen, da mir diese "Eiform" der Oberfläche Schwierigkeiten macht. Für das Volumen fehlt mir komplett der Anatz, da ich nur Dreifachintegrale bisher kenne und mir auch hier die Grenzen fehlen.

Bei Fall 3 würde ich durch meine angefertigte Skizze jetzt so vorgehen:

A = \int_{- r + a}^{r + a}

2*R*arcsin(sqrt(r^2-x^2)/R)

d x

und

V = 4 \cdot \int_{1 - a}^{1 + a} \sqrt{R^{2} - y^{2}} \cdot \sqrt{r^{2} - y^{2}} d y

Ich freue mich über weitere hilfreiche Kommentare :-)

N8eule

22:33 Uhr, 09.12.2020

Hallo
Der 3. Fall scheint dir besser zu liegen. Konzentrieren wir uns doch zunächst mal auf diesen.

Wenn du deine Skizze noch vervollständigst, dann hast du vor Augen:

R^{2} = z^{2} + y^{2}

\to

z = \pm \sqrt{R^{2} - y^{2}}

Du bist zwar in deinem Integral schon drei Schritte weiter hinten eingestiegen.
Aber ich ahne, im Teilausdruck

z (y) = \sqrt{R^{2} - y^{2}}

steckt dieser Gedanke dahinter.
Gut so, richtig so!
Mit der vervollständigten Skizze findet man eigentlich schon die Sicherheit und Begründung, woher es kommt und wie gut das ist.

Jetzt mit der x-Ausdehnung scheinst du doch aber noch ziemlich am raten zu sein. Ich mache dir mal noch eine Skizze.
Mit dieser Skizze vor Augen und nicht gleich dem 3. Schritt vor dem ersten, sondern schön beim Pythagoras beginnend, sollte es jetzt doch nicht mehr schwer sein, auch deine Funktion

x (y)

besser zu bestimmen.

fiRe2011 aktiv_icon

09:39 Uhr, 11.12.2020

Guten Morgen,

also wenn ich das jetzt aus der Skizze (hoffentlich) richtig sehe, schließe ich daraus

r^{2} = {(y - a)}^{2} + x^{2}

r^{2} = y^{2} - 2 \cdot y \cdot a + a^{2} + x^{2}

An der Stelle habe ich nach

y^{2}

umgeformt und dies mit der pq aufgestellt und weiter gemacht.

y_{1,2} = - \frac{2 \cdot a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2 \cdot a}{2})}^{2} - (- a^{2} - x^{2} + r^{2})}

sin (u) = \frac{y}{R}

sin (u) = \frac{- \frac{2 \cdot a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2 \cdot a}{2})}^{2} - (- a^{2} - x^{2} + r^{2})}}{R}

und daraus dann das Integral

A = 4 \cdot R \cdot \int_{- r - a}^{r + a}

arcsin

(\frac{- \frac{2 \cdot a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2 \cdot a}{2})}^{2} - (- a^{2} - x^{2} + r^{2})}}{R})

Wie sieht der Gedanke für die Fläche soweit aus?

N8eule

14:19 Uhr, 11.12.2020

Ehrlich gesagt, ich habe nicht alles durch-exerziert...

Darf ich mal vor Augen führen, wie ich das machen würde. Wer erst gar nicht ausmultipliziert, der muss dann auch nicht wieder per pq-Formel rumeiern...

r^{2} = {(y - a)}^{2} + x^{2}

ganze Gleichung minus

x^{2}

r^{2} - x^{2} = {(y - a)}^{2}

(y - a) = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}

ganze Gleichung plus

a :

y (x) = a \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}

So, ich ahne, du willst wieder die Deckfläche berechnen.

A = \int

= \int

Kreisbogen

\cdot d x

Jetzt scheinst du dir noch nicht so ganz klar gemacht zu haben, wie du mit dem Vorzeichen umgehen willst. Zumindest hast du dich noch nicht schriftlich festgelegt.
Wieder eine gute Skizze und konzentriertes Eindenken führt dazu, dass

>

das positive Vorzeichen doch für den Flächenrand auf der "positiven" Seite steht
y_pos(x)=

a + \sqrt{r^{2} - x^{2}}

>

das negative Vorzeichen für den Flächenrand auf der "negativen" Seite, also
y_neg(x)=

a - \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Nach wie vor gilt:

sin (u) = \frac{y}{R}

u =

arcsin(y/R)

Und folglich ein Winkelstück

u

auf der "positiven" Seite
u_pos = arcsin(y_pos/R)
und ein Winkelstück auf der "negativen" Seite:
u_neg = arcsin(y_neg/R)

Für die Beschreibung des Flächen-Teilstücks dA wirst du doch den Kreisbogen bestehend aus beiden Teilbögen benötigen:
dA =

[

positiver Bogen

+

negativer Bogen]

\cdot d x

= [

R*u_pos - R*u_neg

] \cdot d x

= R \cdot [

arcsin(y_pos/R) - arcsin(y_neg/R)

] \cdot d x

= R \cdot [

arcsin((a+sqrt(r^2-x^2))/R) - arcsin((a-sqrt(r^2-x^2))/R)

] \cdot d x

Und siehe da, schon hast du dein Flächenstück für jede Stelle

x

beschrieben.

Aus der Überlegung (und der Skizze), dass du ja über

x

integrierst, sollten auch die Integralgrenzen passender einleuchten:

A = \int

= \int_{- r}^{r}

[

arcsin((a+sqrt(r^2-x^2))/R) - arcsin((a-sqrt(r^2-x^2))/R)

] \cdot d x

fiRe2011 aktiv_icon

15:47 Uhr, 11.12.2020

Dankeschön, da habe ich am Anfang wirklich zu kompliziert gedacht...

Heißt das dann, dass:

R^{2} = z^{2} + {(y - a)}^{2}

z = \pm \sqrt{R^{2} - {(y - a)}^{2}}

r^{2} = x^{2} + {(y - a)}^{2}

x = \pm \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}

und dass ich dann das positive und negative Volumenstück getrennt betrachten muss?

N8eule

16:00 Uhr, 11.12.2020

Ich will nicht nachzählen, wie oft ich hier jetzt schon empfohlen habe, den Gedanken eine geeignete Skizze beizufügen.
Dann wären auch so Rückfragen wie
"Heißt das dann, dass..."
vielleicht obsolet,
oder du könntest selbst besser vor Augen führen, ansetzen, Falsches falsifizieren, Richtiges bestätigt und versichert sehen...

fiRe2011 aktiv_icon

20:18 Uhr, 11.12.2020

Skizzen im Anhang.

Daraus ergibt sich aber immer noch für mich, dass

R^{2} = z^{2} + {(y - a)}^{2}

r^{2} = x^{2} + {(y - a)}^{2}

Die y-Koordinate ist doch um den Wert a verschoben, weshalb ich

y - a

rechne in beiden Fällen?

Wenn ich das schon nicht sehe, wie soll denn dann Fall 2 werden?

:' D

Den stelle ich mir noch komplizierter vor.

N8eule

22:40 Uhr, 11.12.2020

Guten Abend
Ich zitiere aus

2020 - 12 - 07, 22 : 42 h :

"Sind wir uns einig (?):

>

Die Achse des blauen Zylinders bleibt stets im Koordinatenursprung

[...]

zu Fall 3
Dargestellt hast du wiederum, dass der rote Zylinder in y-Richtung verschoben ist. Ich mag annehmen, dass die Achse des roten Zylinders in der

y = a = 0.5

-Ebene liegt."

fiRe, bitte bleib doch mal bei einer Festlegung oder Erklärung.
Deine Skizzen passen so gar nicht zu den Festlegungen / Erklärungen vormals.
Ich hatte dir Skizzen angeboten.
Willst du nicht einfach mal drauf aufbauend ansetzen, Verständnis tauschen, ein bisschen räumliche Vorstellung üben, einen Radius im Kreis-Mittelpunkt ansetzen,

u . s . w

. .

u . s . w ... .

N8eule

08:57 Uhr, 12.12.2020

Ok, ich ahne mittlerweile, du hast deinen blauen Zylinder einfach abgeschnitten.
Dann lässt sich deine 'blaue' Skizze ja noch einigermaßen retten.
Ich habe das mal nochmals für dich gemacht.
Ich glaube, so können wir uns vor Augen führen und anhand des grauen Dreiecks klar machen und versichern:

r^{2} = x^{2} + {(y - a)}^{2}

und hieraus, richtig:

x^{2} = r^{2} - {(y - a)}^{2}

x (y) = \pm \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}

Für die andere Skizze aber solltest du dich wirklich an meinen Skizzen von wahlweise

> 20 - 12 - 0922 : 33 h

>

oder

20 - 12 - 1114 : 19 h

orientieren.

fiRe2011 aktiv_icon

20:42 Uhr, 13.12.2020

Ich versuche mich wieder seit zwei Tagen daran, aber ich sehe es einfach leider nicht. Ich habe mir nochmal deine Skizze vom

11.12.20, 14 : 19

angeschaut und bin jetzt zu folgendem gekommen.

R^{2} = x^{2} + {(y \pm a)}^{2}

\pm

deswegen, um die linke und rechte (oder positive und negative Seite, wie du sie genannt hast) zu berechnen. Daraus folgt
x_pos

(y) = \sqrt{R^{2} - {(y + a)}^{2}}

x_neg

(y) = \sqrt{R^{2} - {(y - a)}^{2}}

r^{2} = x^{2} + {(y \pm a)}^{2}

x_pos

(y) = \sqrt{r^{2} - {(y + a)}^{2}}

x_neg

(y) = \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}

Und dann mit dem Integral

V = \int_{- r}^{r} (\sqrt{R^{2} - {(y + a)}^{2}} + \sqrt{R^{2} - {(y - a)}^{2}}) \cdot (\sqrt{r^{2} - {(y + a)}^{2}} + \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}})

Aber es fehlt noch etwas, das berechnete Volumen ist zu klein.
Hier ist keine Skizze von mir, weil ich nicht weiß, was ich weiteres ändern soll an der alten Skizze.

Ich hoffe deine Geduld reicht noch mir weiter zu helfen.

N8eule

21:49 Uhr, 13.12.2020

Also mir wird ewig ein Rätsel bleiben, wie du in der "blauen" Skizze ein "R" oder in der roten Skizze ein "x" entdeckt haben willst, die es wert wären, irgendwie zu einer Annahme "bin ich jetzt zu folgendem gekommen" - Formel

R (x)

veranlasst worden zu sein...

Um dem Trauerspiel ein Ende zu machen, mache ich dir mal nochmals meine Herangehensweise vor:
Wir suchen das Volumen

V = \int

dV

Sind wir uns einig? Das Volumen ist eine (infinitesimal) schmale Scheibe Quader mit dem Volumen
dV = Länge

\cdot

Breite

\cdot

Höhe

Die Ausdehnung in x-Richtung hatten wir ja schon gestern:

x (y) = \pm \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}

Die Ausdehnung in y-Richtung ist doch die, in der wir integrieren wollen:

d y

Die Ausdehnung in z-Richtung, dazu die "rote" Skizze:

R^{2} = y^{2} + z^{2}

also:

z^{2} = R^{2} - y^{2}

z (y) = \pm \sqrt{R^{2} - y^{2}}

Damit hätten wir an jeder Stelle

y

wiederum das Volumen:
dV = Länge

\cdot

Breite

\cdot

Höhe

dV

= [2 \cdot \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}] \cdot [d y] \cdot [2 \cdot \sqrt{R^{2} - y^{2}}]

Und wieder die Skizze vor Augen und mit der Erkenntnis, dass wir über

y

integrieren, sollten wiederum die Integralgrenzen passender einleuchten:

V = \int

= \int_{a - r}^{a + r} [2 \cdot \sqrt{r^{2} - {(y - a)}^{2}}] \cdot [2 \cdot \sqrt{R^{2} - y^{2}}] \cdot d y

Gute Nacht!

fiRe2011 aktiv_icon

10:03 Uhr, 14.12.2020

Okay, ich sehe was du gemacht hast.
Was ich daran nicht verstehe, wieso rechnen wir bei der Ausdehnung in x-Richtung

{(y - a)}^{2}

und in der Ausdehnung in z-Richtung nicht?

Reicht deine Geduld noch mit bei dem letzten Fall mit der Drehung zu helfen? Da bin ich komplett ansatzlos. Eine Skizze mit dem Satz des Pythagoras an dieser Stelle funktioniert doch nicht, weil ich keinen Kreis mit r=konstant habe?

Viele Grüße

N8eule

12:54 Uhr, 14.12.2020

Hallo FiRe
Im Gegensatz zu dir habe ich eine Skizze mit einem Dreieck, in denen die Strecken

> r

> y - a

> x

ersichtlich, verständlich und begreifbar werden und den Pythagoras hierzu als Gleichung nahe legt.
Oder ich habe eine Skizze mit einem gelben Dreieck, in denen die Strecken

> y

> z

> R

ersichtlich, verständlich und begreifbar werden und den Pythagoras hierzu als Gleichung nahe legt.

Nur die Worte
"wieso rechnen wir bei der Ausdehnung in x-Richtung (y−a)^2 und in der Ausdehnung in z-Richtung nicht?"
allein machen halt nicht deutlich, welche Strecken jetzt gemeint sind oder welcher Gedanke dahinter steckt.

Was würdest du antworten, wenn ich fragte:
'Wieso rechnen wir nicht

(y - z) \cdot (a + r + 2 R)

?'
?
Wie gesagt, wild Theorien und Formel-Ausdrücke um sich werfen wird nicht sehr zielführend sein.
Bei Geometrie haben wir doch noch den Vorteil, dass wir Strecken anschaulich begreifbar und in Skizzen erklärend verständlich machen können.
Dann sollten wir das doch auch tun.

Zum Fall 2 mit verdrehtem Zylinder:
Das dürfte tatsächlich der anspruchsvollste sein. Und ich ahne, dass wir da ggf vielleicht sogar Vektorrechnung nutzen sollten.
An meiner Geduld sollte es hoffentlich nicht scheitern - möglicherweise aber an meiner Zeit. Ich habe bisher schon in ca.

11

Skizzen und noch mehr Worten unverhältnismäßig viel Zeit investiert.
Ich fürchte, ich kann nicht noch weitere Stunden versprechen.
Vielleicht findet sich ja noch jemand, der einspringt ??

"...weil ich keinen Kreis mit r=konstant habe"
Da bist du zu sehr in bisherigen Denkmustern und Blickrichtungen verfangen.
Wenn du wieder geschickt eine Blickrichtung bzw. Perspektive wählst, nämlich nicht nur in

x -, y -

oder z-Richtung, sondern vielleicht genau in Achsrichtung des geschwenkten Zylinders, dann erscheint doch der rote Zylinder auch wieder als Kreis in wahrer Größe und "r=konstant"...
:-)

fiRe2011 aktiv_icon

09:50 Uhr, 15.12.2020

Ich sehe was du meinst. Ich habe das Bild unten so um 45° gedreht, dass ein Kreis dabei heraus kommt.
Allerdings, wie du schon richtig bemerkt hast, bin ich jetzt in bisherigen Denkmustern gefangen. Du hast vorher erwähnt, dass ggf. Vektorrechnung nötig wäre?

Meine Überlegungen sind wie folgt:

Ich nehme die Parameterdarstellung des roten Zylinders, die ich vorher ermittelt habe

(u 2

und

v 2

sind wie gesagt aus der Aufgabe so bezeichnet und

β

ist die Drehung um 45°)

Z_(Rot)

= \vec{r} (u 1, v 1)

x_{r} = r \cdot cos (u 2) \cdot cos (β) - v 2 \cdot sin (β)

y_{r} = r \cdot sin (u 2)

z_{r} = r \cdot cos (u 2) \cdot sin (β) + v 2 \cdot cos (β)

Und nehme mir dann das Oberflächenintegral für gekrümmte Flächen:

A = \int \int \frac{\partial (\vec{r})}{\partial (u)} \times \frac{\partial (\vec{r})}{\partial (v)} \cdot

\cdot

dv

Als erste Grenze müsste ich zunächst eine Funktion des blauen Zylinders nehmen, die zweite Grenze wäre

- r

bis

r

.

Und jetzt bitte deine Meinung zu meinen Gedanken :-)

fiRe2011 aktiv_icon

17:27 Uhr, 16.12.2020

Kann mir sonst jemand bei dem letzten Fall helfen?

fiRe2011 aktiv_icon

16:06 Uhr, 18.12.2020

Die Frage wird immer leider immer wieder automatisch geschlossen, obwohl sie noch offen ist. Wenn mir jemand helfen möchte, könnnt ihr mich auch gerne direkt anschreiben :-)

N8eule

21:37 Uhr, 18.12.2020

Jetzt habe ich ja offiziell Urlaub. Dann kann ich ja meine Feierabende mit Zylindern verbringen.
Aber bitte, erwarte jetzt nicht eine vollständige Schritt-für-Schritt-Anleitung, sondern du wirst schon mit dieser etwas zügigeren Zusammenfassung leben müssen.

Ich habe jetzt mal noch Hilfsgrößen

' w'

und

' α'

eingeführt.
Die sind temporär zur Herleitung nützlich. Du wirst aber sehen, dass meine ersten Bemühungen dazu dienen, diese gleich wieder los zu werden, und stattdessen wieder mit den bewährten

x, y, z

-Größen zu arbeiten.

Ich ahne, wir werden nun 3 Skizzen benötigen, um alle Zusammenhänge verständlich zu machen,

s . u .

.
Jetzt gilt mein Bestreben der Beschreibung der Randkurve, das ist die Verschneidungskurve zwischen blauem und rotem Zylinder. Ich habe einen beliebigen Punkt hierauf gelb markiert. Ob man das nun Vektorrechnung nennen will oder nicht, ich hoffe es wird ersichtlich:

x = - \frac{w}{\sqrt{2}} + \frac{r \cdot cos (α)}{\sqrt{2}}

y = r \cdot sin (α)

z = \frac{w}{\sqrt{2}} + \frac{r \cdot cos (α)}{\sqrt{2}}

R^{2} = y^{2} + z^{2}

Das sind zunächst vier (Ansatz-) Gleichungen für 5 Unbekannte.
Wie schon angesprochen, galt dann mein Bemühen und Umformen, hieraus

>

die 2 Hilfsgrößen

(w & α)

wieder abzulösen,

>

und explizit Gleichungen für die Zusammenhänge

x < > y < > z

der Berandungskurve zu erstellen.
Ich hoffe, das wird dir auch gelingen, mit hoffentlich dem selben Resultat:

x (z) = - z \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{r^{2} - R^{2} + z^{2}}

z (x) = x \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{R^{2} - r^{2} + x^{2}}

y (x) = \pm \sqrt{R^{2} - {[x \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{R^{2} - r^{2} + x^{2}}]}^{2}}

Das beschreibt schon wunderbar die Berandungskurve.
Und für deine Zwecke der

>

Oberflächen-Berechnung

>

Volumen-Berechnung
ggf. analog der Vorgehensweise wie schon in den zwei Vor-Fällen wirst du ggf. gemäß

x (y)

z (y)

nochmals weiter umformen müssen.

Viel Erfolg!

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