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Schnittgerade 3 Ebenen LGS

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, LGS, Matrix, Schittgerade

Mossy aktiv_icon

20:27 Uhr, 21.09.2017

Ich habe eine Frage und zwar zu folgender Aufgabe:
Gesucht Schnittgerade der drei Ebenen:

E_{1} : x - \frac{1}{4} y - 2 z + 1 = 0

E_{2} : 2 x - \frac{5}{2} y - 5 z - 3 = 0

E_{3} : 4 x + 3 y - 6 z + 14 = 0

Ich habe das LGS aufgestellt und erhalte mit Gauss-Umformungen:

4 - 1 - 8 | - 44 - 1 - 8 | - 4

0 - 2 - 1 | 5

bzw.

0 - 4 - 2 | 10

000 | 0000 | 0

Das ist auch richtig und stimmt mit der Lösung überein.

Jetzt würde man ja

z = t

setzen mit

t

beliebige reele Zahl und nach

x

und

y

auflösen.

Ich erhalte dann:

x = - \frac{13}{8} + \frac{15}{8} t

y = - \frac{5}{2} + \frac{t}{2}

und daraus die Schnittgerade:

g := {(- \frac{13}{8}, - \frac{5}{2}, 0)}^{T} + R \cdot (15, - 4, 8) T

Die Lösung lässt aber diese ganzen letzten Schritte weg und nennt direkt folgende Lösung:

g := {(4, - 4, 3)}^{T} + R \cdot {(15, - 4, 8)}^{T}

NUN ZU MEINER FRAGE:
Das ist zwar dieselbe Gerade, aber ich frage mich, wie der Professor auf diesen Ortspunkt kommt.
Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit, nachdem man das

⊙ g

. LGS in Dreiecksform gebracht hat, die Schnittgerade, bzw. den Ortspunkt zu bestimmen, oder kann man die Orts- und Richtungsvektoren sogar irgendwie ohne Rechnung ablesen?

Würde mich freuen, wenn jemand eine Antwort hat:-)
LG Mossy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

rundblick aktiv_icon

22:56 Uhr, 21.09.2017

.
erster Vorschlag:
schreibe die drei Ebenengleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten:

E_{1} : \to 4 x - y - 8 z + 4 = 0

E_{2} : \to 4 x - 5 y - 10 z - 6 = 0

E_{3} : \to 4 x + 3 y - 6 z + 14 = 0

zweiter Vorschlag:
mache dir klar, dass drei ganz beliebige , nicht parallele Ebenen normalerweise
keine gemeinsame Schnittgerade haben, sondern nur einen gemeinsamen Punkt
(schau dich in deinem Zimmer mal um..!)
falls also deine drei Ebenen tatsächlich eine gemeinsame Schnittgerade haben, dann
sind die drei Gleichungen nicht ganz unabhängig .. und siehe , es gilt hier für die
drei Gleichungen

\to E_{2} + E_{3} = 2 \cdot E_{1}

dritter Tipp:
es genügt, die Schnittgerade

g

zweier der drei Ebenen zu ermitteln, zB

E_{1} n E_{2} \to

einen Richtungsvektor

\vec{r}

von

g

bekommst du mit dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren

\to

(\begin{matrix} 4 \\ - 5 \\ - 10 \end{matrix}) X (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ - 8 \end{matrix}) = 2 \cdot (\begin{matrix} 15 \\ - 4 \\ 8 \end{matrix}) = 2 \cdot \vec{r}

und um irgend einen Ortsvektor zu der Schnittgeraden zu erhalten - rechne ZB

\to

E_{1} - E_{2} \Rightarrow 4 y + 2 z + 10 = 0

..oder

\to 2 y + z + 5 = 0

wähle nun irgendwelche Werte, die diese Gleichung erfüllen (zB

\to y = 0

und

z = - 5)

setze die in

E_{1}

oder

E_{2}

ein und du erhältst den passenden x-Wert (hier zB eben

x = - 11)

und damit hast du den Punkt

(- 11,0, - 5)

und die Gleichung der Schnittgeraden

g : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 11 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 15 \\ - 4 \\ 8 \end{matrix}) ...

. mit:

... ... ... ...

t \in ℝ

(nebenbei:für

t = 1

erhältst du den Startpunkt von deiner Lösung oben)

um zu zeigen, dass diese Gerade auch in

E_{3}

herumliegt, brauchst du zB nur zwei
Beispielpunkte von

g

überprüfen..

ok?
.

Mossy aktiv_icon

10:35 Uhr, 22.09.2017

Vielen Dank für deine Ausführungen.
Da es sich bei der Aufgabe um eine Übungsaufgabe zum LGS handelt, beantwortet das leider noch nicht meine Frage.
Die Lösung bringt, wie gesagt, das LGS in Dreiecksform und dann wird ohne weitere Rechnung die oben genannte Gerade genannt. Daher Frage ich mich,ob und wie man nur mit dieser Dreiecksmatrix auf speziell diese Gerade ohne Rechnung kommen kann.

ledum aktiv_icon

04:37 Uhr, 24.09.2017

Hallo
du hast für den Aufpunkt

t = 0

gesetzt, dein Prof, wollte lieber ganze Zahlen, hat also

t = - 3

gesetzt, er hätte auch

t = 8

nehmen können. Da aber auch deine Lösung richtig ist, ist es eigentlich egal, welches

t

man für den Aufpunkt wählt.
Gruß ledum

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