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Schnittgerade der Ebene E mit x1,x2 Ebene

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: eben, Ebene, Schnittgerade

schweegi aktiv_icon

08:33 Uhr, 17.05.2010

Hallo,

ich soll die Schnittgerade der Ebene

E

mit der x1x2-Ebene bestimmen.
Die Original-Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene

E

mit der x1x2-Ebene (x1x3-Ebene; x2x3-Ebene).

Ich vertsehe jedoch die Aussage der Klammer dahinter nicht. Muss ich die gegebene Parameterform mit jeder Ebenengleichung

(x 1 x 2, x 2 x 3, x 1 x 3)

durchrechnen?

Ich hab da momentan folgendes stehen:

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

Die Ebenengleichung der x1x2-Ebene lautet:

E x 1 x 2 : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Frage: Was besagt die Klammer in der Aufgabenstellung und wie mache ich nun bei den beiden Parametergleichungen weiter? Ich muss eine in die Koordinatenform umformen denke ich mal, aber dazu muss ich erstmal die Gleichungen aufstellen. Daher habe ich hingeschrieben:

I

x 1 = 4 + s + t

x 2 = 5 + 3 s - t

III

x 3 = 5 s + t

Da ich jedoch

s

und

t

nicht wegbekommen kann, nützt mir das ganze nicht viel...

Bin für jede Hilfe dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

pwmeyer aktiv_icon

09:25 Uhr, 17.05.2010

Hallo,

Du hast 2 Ebenendarstellungen:

E_{1} : x = a_{1} + s \cdot v_{1} + t \cdot w_{1}

E_{2} : x = a_{2} + p \cdot v_{2} + q \cdot w_{2}

Der Durchschnitt ist durch alle Punkte

x

gegeben, die beide Parameterdarstellungen erfüllen, also

a_{1} + s \cdot v_{1} + t \cdot w_{1} = x = a_{2} + p \cdot v_{2} + q \cdot w_{2}

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten

(s, t, p, q)

. Die Lösung dieses Systems (abgesehen von Sonderfällen) hat also einen freien Parameter.

Bei Deiner Aufgabe kommst Du aber schneller zum Ziel, wenn Dir überlegst, welche Eigenschaft die 3. Komponente

x_{3}

von Punkten in der x_1-x_2-Ebene hat.

Gruß pwm

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